[论文解读] Two boundary Hecke Algebras and combinatorics of type C

Zajj Daugherty, Arun Ram|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文建立了量子群 $U_q\mathfrak{gl}_n$ 与具有不等参数的类型 C 扩展仿射 Hecke 代数之间的 Schur-Weyl 对偶性，通过多项式表示的张量积实现后者的不可约表示。关键贡献是利用斜局部区域和标准表，对不可约校准表示进行了完全分类，并给出了生成元作用的显式公式，其表达基于内容和路径组合学，基向量由表路径索引。

ABSTRACT

This paper gives a Schur-Weyl duality approach to the representation theory of the affine Hecke algebras of type C with unequal parameters. The first step is to realize the affine braid group of type $C_k$ as the group of braids on $k$ strands with two poles. Generalizing familiar methods from the one pole (type A) case, this provides commuting actions of the quantum group $U_q\mathfrak{g}$ and the affine braid group of type $C_k$ on a tensor space $M\otimes N \otimes V^{\otimes k}$. Special cases provide Schur-Weyl pairings between the affine Hecke algebra of type $C_k$ and the quantum group of type $\mathfrak{gl}_n$, resulting in natural labelings of many representations of the affine Hecke algebras of type C by partitions. Following an analysis of the structure of weights of affine Hecke algebra representations (extending the one parameter case to the three parameter case necessary for affine Hecke algebras of type C), we provide an explicit identification of the affine Hecke algebra representations that appear in tensor space (essentially by identifying their Langlands parameters).

研究动机与目标

• 为具有不等参数的类型 C 仿射 Hecke 代数发展一个 Schur-Weyl 对偶性框架，扩展已知的类型 A 情况。
• 通过量子群在张量空间上的作用，对扩展仿射 Hecke 代数 $H^\text{ext}_k$ 的不可约校准模提供表示论分类。
• 将等参数情况下的权与互换子组合学推广到类型 C 所需的三参数情形。
• 显式识别出哪些不可约 $H^\text{ext}_k$-模出现在张量空间 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 中，将 $U_q\mathfrak{gl}_n$ 的最高权理论与 Hecke 代数表示理论联系起来。
• 构造一个由标准表索引的不可约 $H^\text{ext}_k$-模基，并给出生成元作用的显式公式，其表达基于路径依赖的特征值与结构常数。

提出的方法

• 将类型 C 的仿射 braid 群实现为带有两个极点的 $k$ 根辫子，从而在张量空间 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 上实现辫子群作用。
• 定义扩展仿射 Hecke 代数 $H^\text{ext}_k$，参数为 $t^{1/2} = q$，$t_0^{1/2} = -iq^{b+d}$，$t_k^{1/2} = -iq^{a+c}$，确保与量子群作用相容。
• 利用 $U_q\mathfrak{gl}_n$ 与 $H^\text{ext}_k$ 在 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 上的交换作用，建立 Schur-Weyl 对偶性，其中 $M = L((a^c))$，$N = L((b^d))$，$V = \mathbb{C}^n$。
• 通过斜局部区域与标准表路径 $S \in \mathcal{T}_k^\lambda$ 对不可约校准 $H^\text{ext}_k$-模进行分类，利用路径与基向量之间的双射。
• 推导生成元 $T_i$，$Y_1$，$X_1$ 与 $P$ 在基向量 $v_S$ 上的作用的显式公式，其特征值依赖于内容差 $c(S(i)/S(i-1))$ 与路径存在性。
• 利用仿射 braid 与 Hecke 代数的 Coxeter 与 Bernstein 表示，关联参数转换并验证中心化代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些不可约表示的扩展仿射 Hecke 代数 $H^\text{ext}_k$（类型 C，不等参数）出现在张量空间 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 中？
• RQ2 如何通过 Schur-Weyl 对偶性，从 $U_q\mathfrak{gl}_n$ 的最高权理论推导出 $H^\text{ext}_k$ 的表示理论？
• RQ3 在三参数情形下，$H^\text{ext}_k$-模的权的精确组合结构是什么？
• RQ4 如何将 $H^\text{ext}_k$-模的中心特征标与 Langlands 参数与分拆和标准表的索引联系起来？
• RQ5 生成元 $T_i$，$Y_1$，$X_1$ 与 $P$ 在由标准表路径 $S$ 索引的基上的作用是什么？

主要发现

• 出现在 $M \otimes N \otimes V^{\otimes k}$ 中的不可约 $H^\text{ext}_k$-模 $B^\lambda_k$ 与分拆 $\lambda \in \mathcal{P}(k)$ 之间存在双射，且 $B^\lambda_k \cong H(z,c,\emptyset)_k$，其中 $z$ 与 $c$ 为特定值。
• 生成元 $P$ 在基向量 $v_S$ 上的作用为 $P v_S = q^{2e_0(T)} v_S$，其中 $e_0(T)$ 为路径中第一个添加方块的内容。
• 生成元 $T_i$ 在 $v_S$ 上的作用为 $T_i v_S = [T_i]_{S,S} v_S + \sqrt{([T_i]_{S,S} - q)([T_i]_{S,S} + q^{-1})} v_{s_i S}$，其中 $[T_i]_{S,S} = \frac{q - q^{-1}}{1 - q^{2(c(S(i)/S(i-1)) - c(S(i+1)/S(i)))}}$。
• 生成元 $Y_1$ 的作用为 $Y_1 v_S = [Y_1]_{S,S} v_S + \sqrt{([Y_1]_{S,S} - q^{-2d})([Y_1]_{S,S} - q^{2b})} v_{s_0 S}$，其中 $[Y_1]_{S,S}$ 为 $q$，$a$，$b$，$c$，$d$ 与 $c(S(1)/S(0))$ 的有理函数。
• 生成元 $X_1$ 的作用为 $X_1 v_S = [X_1]_{S,S} v_S + q^{-2c(S(1)/S(0))} q^{a-c+b-d} \sqrt{([X_1]_{S,S} - q^{2a})([X_1]_{S,S} - q^{-2c})} v_{s_0 S}$，其中 $[X_1]_{S,S}$ 定义为包含相同参数的有理函数。
• 当 $\lambda(k) \neq \mu(k)$ 时，存在 $B^{\lambda(k)}_k \cong B^{\mu(k)}_k \cong H(z,c,\emptyset)_k$ 的情形，其中 $a=c=6$，$b=d=4$，$k=1$，$\lambda(k)=(12,10,8,8,6,6,5,3,3,1)$，$\mu(k)=(12,9,9,8,7,6,4,3,2,2)$，表明在特定参数条件下，分拆索引并非唯一。