[论文解读] Two Categories of Dirac Manifolds

Brett Milburn|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文引入了两类不同的Dirac流形——Dirac映射与对偶-Dirac映射，将Poisson、复、辛和全纯结构统一于广义复几何之下。主要贡献在于将Dirac群和广义复群表征为具有相容Dirac结构的李群，推广了Poisson群，并通过Courant代数丛和B-变换为量化提供了框架。

ABSTRACT

We define two categories of Dirac manifolds, i.e. manifolds with complex Dirac structures. The first notion of maps I call \emph{Dirac maps}, and the category of Dirac manifolds is seen to contain the categories of Poisson and complex manifolds as full subcategories. The second notion, \emph{dual-Dirac maps}, defines a \emph{dual-Dirac category} which contains presymplectic and complex manifolds as full subcategories. The dual-Dirac maps are stable under B-transformations. In particular we get two structures of a category on Hitchin'sgeneralized complex manifolds, i.e., two reasonable notions of generalized complex maps. We also generalize further to get categories of Dirac manifolds for which the Dirac structures lie in arbitrary exact Courant algebroids. As an example, we consider the case of a Lie group with a complex Dirac structure and establish conditions for which multiplication is a Dirac map.

研究动机与目标

• 通过Dirac映射和对偶-Dirac映射定义两类新的Dirac流形，统一Poisson与复几何。
• 通过引入具有相容Dirac结构的Dirac群和广义复群，推广Poisson群。
• 建立群乘法为Dirac或对偶-Dirac映射的条件，特别是在精确Courant代数丛的背景下。
• 通过B-场和H-通量将理论推广至扭曲Dirac结构，推广扭曲Poisson群。
• 通过精确Courant代数丛和顶点代数丛，探索与仿射李代数表示理论的联系。

提出的方法

• 将Dirac映射定义为保持广义复结构的态射，推广Poisson映射与全纯映射。
• 引入对偶-Dirac映射，统一辛与复映射，且在B-变换下保持稳定。
• 利用Courant括号和$\mathcal{V}_M = TM \oplus T^*M$上的广义殆复结构定义可积性条件。
• 通过$G$-不变理想$E \subset \mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$和截面$\varepsilon \in \Gamma(G, \wedge^2 \tilde{E})$表征Dirac群。
• 应用B-变换将Dirac结构与扭曲Courant代数丛关联，并推导$\mu^*H = H \oplus H + dB$的条件。
• 通过$\mathcal{V}_G$的左不变平凡化将问题约化为李代数数据，包括$d_E\varepsilon = -H|_E$。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么条件定义了统一Poisson与复几何的Dirac流形之间的态射？
• RQ2 在广义复几何中，如何将Dirac群表征为Poisson群的推广？
• RQ3 B-变换在稳定对偶-Dirac范畴及将理论推广至精确Courant代数丛中起什么作用？
• RQ4 在存在H-通量时，李群的乘法映射在何种条件下是对偶-Dirac映射？
• RQ5 广义复群与全纯Poisson群有何关联？其在量化中的意义为何？

主要发现

• Dirac映射构成一个范畴，完全包含Poisson与复流形，为这些结构提供了统一框架。
• 对偶-Dirac映射构成一个范畴，完全包含辛与复流形，且在B-变换下保持稳定。
• 李群$G$是Dirac群当且仅当它存在一个$G$-不变理想$E \subset \mathfrak{g}_{\mathbb{C}}$，一个截面$\varepsilon \in \Gamma(G, \wedge^2 \tilde{E})$，以及一个满足特定变换与可积性条件的2-形式$B$。
• 对于广义复群，若$d_E\varepsilon = -H|_E$，则结构$D = L(E, \varepsilon)$是可积的，且此类群等价于全 holomorphic Poisson群。
• 当$G$是半单时，唯一的可能$\varepsilon$为零，且$B$必须为$\pi_1^*\omega \oplus \pi_2^*\omega$的形式，其中$\omega|_E = 0$。
• 条件$\mu^*H = H \oplus H + dB$确保乘法是双-Dirac范畴中的态射，且可积性要求$[\beta, \beta] = \beta_\sharp H$。