[论文解读] Two classes of hyperbolic surfaces in P^3

Bernard Shiffman, Mikhail Zaidenberg|ArXiv.org|Nov 25, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文通过将高维射影空间中嵌入的亏格 g ≥ 2 和 g ≥ 3 曲线的对称平方与笛卡尔平方进行一般投影，在复射影 3-空间（P^3）中构造了两类奇点的 Kobayashi 双曲曲面。第一类曲面具有 C-双曲的正规化，且给出了一个次数为 32 的例子；第二类曲面的最小次数为 16，尽管其正规化并非 C-双曲，从而推进了对代数曲面双曲性的理解。

ABSTRACT

We construct two classes of singular Kobayashi hyperbolic surfaces in $P^3$. The first consists of generic projections of the cartesian square $V = C imes C$ of a generic genus $g \ge 2$ curve $C$ smoothly embedded in $P^5$. These surfaces have C-hyperbolic normalizations; we give some lower bounds for their degrees and provide an example of degree 32. The second class of examples of hyperbolic surfaces in $P^3$ is provided by generic projections of the symmetric square $V' = C_2$ of a generic genus $g \ge 3$ curve $C$. The minimal degree of these surfaces is 16, but this time the normalizations are not C-hyperbolic.

研究动机与目标

• 构造 P^3 中具有可控奇点的新 Kobayashi 双曲曲面示例。
• 研究通过投影对称平方与笛卡尔平方所得曲面的正规化的双曲性性质。
• 确定此类双曲曲面的最小次数并建立下界。
• 探讨在投影曲面背景下 C-双曲与非 C-双曲正规化之间的区别。
• 为复射影 3-空间中双曲代数曲面的分类做出贡献。

提出的方法

• 将嵌入在 $ \mathbb{P}^5 $ 中的一般亏格 $ g \geq 2 $ 曲线 $ C $ 的笛卡尔平方 $ C \times C $ 通过一般投影映射到 $ \mathbb{P}^3 $，得到具有奇点的双曲曲面。
• 通过几何与代数几何方法分析投影曲面的正规化，以判断其是否为 C-双曲。
• 将嵌入在 $ \mathbb{P}^5 $ 中的一般亏格 $ g \geq 3 $ 曲线 $ C $ 的对称平方 $ C_2 $ 通过一般投影映射到 $ \mathbb{P}^3 $。
• 利用交点理论与嵌入约束，建立所得曲面次数的下界。
• 运用代数几何与复分析中的技术，特别是与双曲性及 Kobayashi 度量相关的方法。
• 利用一般投影在特定条件下保持双曲性的事实，并分析投影引入的奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为亏格 $ g \geq 2 $ 曲线的笛卡尔平方的一般投影，P^3 中 Kobayashi 双曲曲面的最小次数是多少？
• RQ2 从亏格 $ g \geq 3 $ 曲线的对称平方投影得到的曲面的正规化是否可能为 C-双曲？若不能，原因是什么？
• RQ3 在何种几何与上同调条件下，曲线平方的一般投影会在 $ \mathbb{P}^3 $ 中产生双曲曲面？
• RQ4 正规化的双曲性性质如何与原曲线的拓扑与亏格相关联？
• RQ5 通过这些投影方法构造的此类双曲曲面的次数是否存在紧下界？

主要发现

• 第一类曲面（来自 $ g \geq 2 $ 时 $ C \times C $ 的一般投影）具有 C-双曲的正规化。
• 构造了一个第一类曲面的显式例子，其次数为 32。
• 第二类曲面（来自 $ g \geq 3 $ 时 $ C_2 $ 的投影）的最小次数为 16。
• 尽管第二类曲面本身是 Kobayashi 双曲的，但其正规化并非 C-双曲。
• 本文基于原曲线的亏格与嵌入维数，建立了投影曲面次数的下界。
• 该构造表明，即使正规化不为 C-双曲，双曲性仍可在一般投影下保持。