[论文解读] Two-color balanced affine urn models with multiple drawings II: large-index and triangular urns

Markus Kuba, Hosam M. Mahmoud|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文将两色平衡仿射瓮模型在多抽样（样本大小 $m \geq 1$）下的分析扩展至大索引瓮（$\Lambda > \frac{1}{2}$）和三角瓮。研究推导了白球数量 $W_n$ 的正整数矩的精确表达式，建立了在适当缩放下的矩收敛性，并给出了涉及伽马函数和组合系数的极限矩公式，完成了第一部分中启动的这些模型的概率表征。

ABSTRACT

This is the second part of a two-part investigation. We continue the study of a class of balanced urn schemes on balls of two colors (white and black). At each drawing, a sample of size $m\ge 1$ is drawn from the urn and ball addition rules are applied; the special case $m=1$ of sampling only a single ball coincides with ordinary balanced urn models. We consider these multiple drawings under sampling with or without replacement. For the class of affine conditional expected value, we study the number of white balls after $n$ steps. The affine class is parametrized by $Λ$, specified by the ratio of the two eigenvalues of a reduced ball replacement matrix and the sample size, leading to three different cases: small-index urns ($Λ\le \frac 1 2$, and the case $Λ= \frac 1 2$ is critical), large-index urns ($Λ> \frac 1 2$), and triangular urns. In Part I we derived a central limit theorem for small index urns, and proved almost-sure convergence for large index and triangular urn models. In the present paper (Part II), we continue the study of affiance urn schemes and study the moments of large-index urns and triangular urn models. We show moment convergence under suitable scaling and we also provide expressions for the moments.

研究动机与目标

• 在多抽样方案下，表征大索引和三角瓮模型中白球数量的正整数矩。
• 在适当缩放下，为这些瓮模型建立矩收敛性，补充第一部分中几乎必然收敛的结果。
• 推导出缩放后白球数量的极限矩的显式表达式，涉及伽马函数和组合系数。
• 将仿射瓮模型的分析框架从低索引情形推广至更广范围，完成极限分布的分类。

提出的方法

• 分析基于仿射条件期望性质 $\mathbb{E}[W_n \mid \mathcal{F}_{n-1}] = \alpha_n W_{n-1} + \beta_n$ 所导出的鞅结构。
• 论文引入一个平移后的随机变量 $\tilde{W}_n = W_n - \frac{n a_m}{1 - \Lambda}$，以对大索引模型的分布进行中心化。
• 采用递推关系和加权有向无环图上的路径枚举来计算矩，其中系数 $\varphi_{n,s,k}$ 和 $\tilde{\varphi}_{s,k}$ 通过组合求和推导。
• 极限矩 $E_s = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[\left(\frac{\tilde{W}_n}{n^\Lambda}\right)^s\right]$ 以伽马函数乘积和关于初始白球数的有限和形式表达。
• 推导依赖于瓮索引 $\Lambda = \frac{m}{\sigma}(a_{m-1} - a_m)$ 将模型分类为大索引和三角瓮情形。
• 该框架推广了分析组合学的技术，并将其应用于 $m \geq 1$ 的瓮模型，扩展了此前针对 $m=1$ 的方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 大索引瓮模型在多抽样下，白球数量的正整数矩是否存在精确表达式？
• RQ2 在大索引和三角瓮中，缩放后白球数量的矩如何渐近表现？
• RQ3 极限矩能否用特殊函数（如伽马函数）以闭式表达？
• RQ4 是否存在一个统一的组合框架，用于计算 $m \geq 1$ 的仿射瓮模型的矩？
• RQ5 在仿射情形之外，这些模型的矩生成函数或递推关系具有何种结构？

主要发现

• 平移后白球计数 $\tilde{W}_n$ 的 $s$ 阶正整数矩为 $\mathbb{E}[\tilde{W}_n^s] = \sum_{k=0}^s \varphi_{n,s,k} W_0^k$，其中系数 $\varphi_{n,s,k}$ 通过路径枚举推导。
• 极限矩 $E_s = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[\left(\frac{\tilde{W}_n}{n^\Lambda}\right)^s\right]$ 存在，并以伽马函数乘积和初始白球数的有限和形式表达。
• 对于模型 $\mathcal{M}$，有 $E_s = \prod_{\ell=1}^{s^*} \frac{\Gamma\left(\frac{T_0 + 1 - \ell}{\sigma}\right)}{\Gamma(\lambda_{\ell,s})} \sum_{k=0}^s \tilde{\varphi}_{s,k} W_0^k$，其中 $\tilde{\varphi}_{s,k}$ 通过整数序列的无穷和定义。
• 对于模型 $\mathcal{R}$，有 $E_s = \frac{\Gamma\left(\frac{T_0}{\sigma}\right)^s}{\prod_{\ell=1}^s \Gamma(\mu_{\ell,s})} \sum_{k=0}^s \tilde{\varphi}_{s,k} W_0^k$，显示出对初始总球数 $T_0$ 的依赖性。
• $\tilde{\varphi}_{s,0}$ 是一个绝对收敛的无穷级数，涉及项 $f_{j,s,s}$ 的乘积和嵌套路径计数。
• 大索引和三角瓮的矩收敛性均成立，极限分布由矩 $E_s$ 所刻画。