[论文解读] Two component integrable systems modelling shallow water waves: the constant vorticity case

Rossen I. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 37被引用 9

一句话总结

本文通过渐近缩放欧拉方程、质量守恒方程及边界条件，推导出具有恒定涡度的浅水波的两分量可积系统。结果表明，所得到的模型对应于两分量Camassa-Holm、Zakharov-Ito和Kaup-Boussinesq系统，展示了恒定涡度如何改变波动力学，并通过Lax对实现精确可解性。

ABSTRACT

In this contribution we describe the role of several two-component integrable systems in the classical problem of shallow water waves. The starting point in our derivation is the Euler equation for an incompressible fluid, the equation of mass conservation, the simplest bottom and surface conditions and the constant vorticity condition. The approximate model equations are generated by introduction of suitable scalings and by truncating asymptotic expansions of the quantities to appropriate order. The so obtained equations can be related to three different integrable systems: a two component generalization of the Camassa-Holm equation, the Zakharov-Ito system and the Kaup-Boussinesq system. The significance of the results is the inclusion of vorticity, an important feature of water waves that has been given increasing attention during the last decade. The presented investigation shows how -- up to a certain order -- the model equations relate to the shear flow upon which the wave resides. In particular, it shows exactly how the constant vorticity affects the equations.

研究动机与目标

• 通过欧拉方程和连续性方程的渐近展开，推导具有恒定涡度的浅水波近似模型方程。
• 展示恒定涡度的引入如何影响浅水理论中两分量可积系统的结构。
• 建立所推导模型与三个已知可积系统之间的联系：两分量Camassa-Holm、Zakharov-Ito和Kaup-Boussinesq方程。
• 展示涡度在实现或修改可积框架中峰子解和波破裂现象中的作用。

提出的方法

• 在恒定涡度假设下，对不可压缩欧拉方程、质量守恒方程以及自由表面和底部边界条件应用渐近缩放。
• 引入无量纲参数ε（波幅与水深之比）和δ（水深与波长之比），将速度场和压力量级展开为幂级数。
• 将渐近展开在ε和δ的二阶截断，以推导自由表面和水平速度的简化模型方程。
• 通过适当的重新标度和参数选择，识别出所得系统等价于两分量Camassa-Holm方程。
• 通过进一步的重新标度和伽利略变换，当涡度参数A设为A/4时，系统退化为Zakharov-Ito系统。
• 在涡度为零（A=0）的极限下推导出Kaup-Boussinesq系统，并通过具有二阶特征值问题的Lax对证明其可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 恒定涡度如何影响从欧拉方程推导两分量浅水模型的过程？
• RQ2 在具有恒定涡度的浅水方程渐近约化中，哪些已知可积系统会浮现？
• RQ3 涡度在实现或抑制所推导模型中峰子解和波破裂解方面起什么作用？
• RQ4 在不同参数区域下，同一渐近框架如何导出不同的可积系统（Camassa-Holm、Zakharov-Ito、Kaup-Boussinesq）？

主要发现

• 两分量Camassa-Holm系统作为具有恒定涡度的浅水波模型出现，其解在适当的初始条件下包含峰子解和波破裂现象。
• 通过伽利略变换和重新标度，Zakharov-Ito系统被恢复，其中涡度参数A与系统的色散系数通过k = A/4相关联。
• 在零涡度极限（A=0）下获得Kaup-Boussinesq系统，其可积性通过具有二阶特征值问题的Lax对得到证实。
• 所推导的模型保持了质量守恒和能量平衡等关键物理特性，且涡度项明确地修改了方程中的非线性和色散项。
• 恒定涡度的存在改变了波动力学，在A ≠ 0情况下阻止了峰子解的出现，但在短波极限下当m = -u_xx时仍允许峰子解存在。
• 当非线性项符号由+ρρ_x更改为-ρρ_x时，系统同样保持可积性，表明该可积框架在非线性项符号变化下具有结构鲁棒性。