[论文解读] Two converse theorems for Maass forms

Michael Neururer, Thomas Oliver|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Analytic Number Theory Research被引用 1

一句话总结

本文通过证明其L函数在本原狄利克雷特征的扭曲下满足函数方程，即使这些扭曲是亚纯的，建立了梅斯形式的两个逆定理。关键结果表明，梅斯新形式的对称平方L函数与黎曼ζ函数的商具有无穷多个极点，从而确认了这些自守形式深层的算术性质。

ABSTRACT

We prove two principal results. Firstly, we characterise Maass forms in terms of functional equations for Dirichlet series twisted by primitive characters. The key point is that the twists are allowed to be meromorphic. This weakened analytic assumption applies in the context of our second theorem, which shows that the quotient of the symmetric square L-function of a Maass newform and the Riemann zeta function has infinitely many poles.

研究动机与目标

• 通过本原特征扭曲的狄利克雷级数的函数方程来刻画梅斯形式。
• 通过允许在逆定理中使用亚纯扭曲，放宽解析假设。
• 研究梅斯新形式的对称平方L函数的算术结构。
• 证明对称平方L函数与黎曼ζ函数的商具有无穷多个极点。

提出的方法

• 利用本原狄利克雷特征扭曲的狄利克雷级数的函数方程来刻画梅斯形式。
• 应用自守L函数及其在亚纯开拓下的函数方程理论。
• 采用梅斯新形式的对称平方提升来构造相关的L函数。
• 分析对称平方L函数与黎曼ζ函数的商以检测极点。
• 利用自守表示和兰兰兹函子性的性质推导解析行为。
• 在非全纯尖点形式及其L函数的背景下，运用逆定理技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 当扭曲为亚纯时，梅斯形式能否通过其狄利克雷级数在本原特征扭曲下的函数方程来刻画？
• RQ2 梅斯新形式的对称平方L函数与黎曼ζ函数的商的解析行为如何？
• RQ3 此类商是否具有无穷多个极点，这对底层自守结构意味着什么？
• RQ4 亚纯扭曲如何影响梅斯形式背景下逆定理的有效性？
• RQ5 商的极点中编码了哪些算术信息？

主要发现

• 本文通过本原特征扭曲的狄利克雷级数的函数方程，即使扭曲为亚纯，也建立了梅斯形式的逆定理。
• 证明了梅斯新形式的对称平方L函数与黎曼ζ函数的商具有无穷多个极点。
• 商中存在无穷多个极点表明对称平方L函数具有非平凡的算术结构。
• 该结果在弱化的解析假设下依然成立，因为函数方程条件在扭曲为亚纯时依然适用。
• 该方法证实，即使在正则性要求较低的情况下，也可通过扭曲L函数的函数方程检测自守形式。
• 研究结果将逆定理的适用范围扩展至亚纯扭曲，从而扩大了其在梅斯形式中的应用范围。