[论文解读] Two-dimensional categorified Hall algebras

Mauro Porta, Francesco Sala|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 1

一句话总结

本文通过使用相干层、希格斯层、平坦丛和局部系统上的导出模堆栈，为光滑曲线与曲面引入了二维范畴化 Hall 代数。通过采用模堆栈的导出增强，作者在相干层的有界导出范畴上构造了 E1-张量结构，从而对现有的 K-理论与上同调 Hall 代数进行了范畴化。其主要贡献是通过这些新结构，将 Riemann–Hilbert 对应关系与非交换 Hodge 对应关系提升至范畴化层次。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce two-dimensional categorified Hall algebras of smooth curves and smooth surfaces. A categorified Hall algebra is an associative monoidal structure on the stable $\infty$-category $\mathsf{Coh}^{\mathsf{b}}(\mathbb{R}\mathsf{M})$ of complexes of sheaves with bounded coherent cohomology on a derived moduli stack $\mathbb{R}\mathsf{M}$. In the surface case, $\mathbb{R}\mathsf{M}$ is a suitable derived enhancement of the moduli stack $\mathsf{M}$ of coherent sheaves on the surface. This construction categorifies the K-theoretical and cohomological Hall algebras of coherent sheaves on a surface of Zhao and Kapranov-Vasserot. In the curve case, we define three categorified Hall algebras associated with suitable derived enhancements of the moduli stack of Higgs sheaves on a curve $X$, the moduli stack of vector bundles with flat connections on $X$, and the moduli stack of finite-dimensional local systems on $X$, respectively. In the Higgs sheaves case we obtain a categorification of the K-theoretical and cohomological Hall algebras of Higgs sheaves on a curve of Minets and Sala-Schiffmann, while in the other two cases our construction yields, by passing to $\mathsf K_0$, new K-theoretical Hall algebras, and by passing to $\mathsf H_\ast^{\mathsf{BM}}$, new cohomological Hall algebras. Finally, we show that the Riemann-Hilbert and the non-abelian Hodge correspondences can be lifted to the level of our categorified Hall algebras of a curve.

研究动机与目标

• 通过模堆栈的导出增强，为光滑曲面与曲线上的相干层构造范畴化 Hall 代数。
• 对曲线上相干层与希格斯层的已知 K-理论与上同调 Hall 代数（CoHAs）进行范畴化。
• 将构造扩展至曲线上的平坦向量丛与局部系统，在去范畴化后得到新的 K-理论与上同调 Hall 代数。
• 将 Riemann–Hilbert 与非交换 Hodge 对应关系提升至范畴化 Hall 代数的层次。
• 证明导出几何在该范畴化中是本质性的，因为完美障碍理论不足以实现此类构造。

提出的方法

• 使用曲面与曲线上的相干层的导出模堆栈 RM 与 RMext，通过增强经典模堆栈以改善扩张映射的正则性。
• 通过在扩张的导出模堆栈上使用导出上拉-上推构造 Rp∗∘q! 定义 Hall 乘积，利用导出映射 Rp 的更好正则性。
• 在稳定 ∞-范畴 Cohb(RM) 上构造 E1-张量结构，对 CoHAs 的卷积积进行范畴化。
• 应用 ind-对象与双变函子理论，将函子从 dg-范畴扩展至 pro-范畴，从而在导出几何中实现对应关系的构造。
• 在 ind-对象的背景下使用基变换与 Beck–Chevalley 条件，确保不同几何结构间范畴化 Hall 乘积的相容性。
• 利用 ind-拟紧堆栈与 2-pro-范畴的框架，在导出几何堆栈的 QCohpro 上定义右- lax 对称张量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过模堆栈的导出增强，实现二维范畴化 Hall 代数的统一构造？
• RQ2 与经典模堆栈相比，导出增强如何改善扩张映射的正则性？
• RQ3 Riemann–Hilbert 与非交换 Hodge 对应关系能否被提升至范畴化 Hall 代数的层次？
• RQ4 在平坦丛与局部系统上的范畴化结构中，会涌现出哪些新的 K-理论与上同调 Hall 代数？
• RQ5 是否可能在不依赖完美障碍理论的前提下构造范畴化 Hall 代数？

主要发现

• 对曲面上相干层模堆栈的导出增强确保了扩张映射 Rp 为 lci，从而支持了良好行为的 Hall 乘积的构造。
• 在曲线上希格斯层的导出模堆栈上的范畴化 Hall 代数，范畴化了 Minets 与 Sala–Schiffmann 的 K-理论与上同调 Hall 代数。
• 对于曲线上平坦向量丛与局部系统，构造在 K0 上诱导出新的 K-理论 Hall 代数，在 HBM∗ 下则产生新的上同调 Hall 代数。
• Riemann–Hilbert 对应关系被提升为希格斯层与平坦丛的范畴化 Hall 代数之间的对称张量等价。
• 非交换 Hodge 对应关系同样被提升至范畴化层次，建立了希格斯层与局部系统 Hall 代数之间的对称张量等价。
• 导出几何的使用是本质性的：范畴化结构非平凡地依赖于导出增强，无法仅通过完美障碍理论恢复。