[论文解读] Two-dimensional Finsler metrics of constant curvature

Zhongmin Shen|ArXiv.org|Sep 15, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用 13

一句话总结

该论文通过基于体积保持变换的形变技术，在2-球面 𝕊² 和开圆盘 𝕏²(ρ) 上构造了无穷多个非射影平坦的Randers度量，其旗曲率为常数 K = 1 和 K = −1 或 −1/4，分别对应。关键贡献在于证明了在二维情况下，存在非黎曼、非射影平坦的常曲率Finsler度量，挑战了关于曲率与对称性约束的先前假设。

ABSTRACT

A Riemannian metric is of constant curvature if and only if it is locally projectively flat. There are infinitely many locally projectively flat Finsler metrics of constant curvature, that are special solutions to the Hilbert's Fourth Problem. In this paper, we use the technique in the paper titled "Finsler metrics with K=0 and S=0" (math.DG/0109060) to construct infinitely many Finsler metrics on the 2-sphere with constant curvature K=1 and infinitely many Finsler metrics on the 2-disk with constant curvature K = -1. These metrics are not projectively flat. So far, the classification of Finsler metrics of constant curvature has not been completely done yet. These examples are important to the classification problem.

研究动机与目标

• 构造二维Finsler度量的显式例子，其旗曲率为非零常数，且不是局部射影平坦的。
• 为解决长期悬而未决的Finsler几何难题——常曲率非射影平坦Finsler度量的分类问题，提出解决方案。
• 证明Yasuda-Shimada关于常曲率Randers度量的Killing形式定理在二维情况下并不完全成立。
• 探讨由 𝕊² 和 𝕏² 上标准度量经体积保持形变所导出的Randers度量的几何与曲率性质。
• 提出一种通过向量场形变基Finsler度量以生成具有可控曲率的新Finsler度量的全新方法。

提出的方法

• 应用保持体积的形变技术：给定Finsler度量Φ和向量场v，通过方程 Φ((y/F(y)) − εv_p) = 1（ε较小）定义新度量F。
• 所得F为Randers度量F = α + β，其中α和β由基度量Φ与向量场v通过涉及h(y,y)、h(v,y)和h(v,v)的代数表达式导出。
• 该构造确保Φ与F的Busemann-Hausdorff体积形式相等，从而在改变曲率与对称性的同时保持体积不变。
• 在2-球面上，使用标准度量Φ，并取v_p = (−y,x,0)（在p = (x,y,z) ∈ 𝕊²处），得到K = 1的F度量。
• 在圆盘上，使用标准Klein度量Φ，并取v_p = (−y,x)于 𝕏² 上，得到K = −1 或 K = −1/4的F度量，具体取决于ε。
• 通过显式公式计算测地线系数G^i与曲率张量，涉及r_ij、s_ij、s^i_j与s_j，从而验证了常旗曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在二维情况下构造出非射影平坦的常旗曲率Finsler度量？
• RQ2 Yasuda-Shimada关于常曲率Randers度量的Killing形式定理在二维情况下是否依然成立？
• RQ3 当Finsler度量F = α + β具有常旗曲率但β不是Killing形式时，其Riemann部分α的行为如何？
• RQ4 在此类构造中，α的Gauss曲率行为如何？其何时为常数？
• RQ5 对标准Finsler度量进行保持体积的形变，能否生成具有可控常旗曲率的新Finsler度量？

主要发现

• 在 𝕊² 上构造的Finsler度量具有常旗曲率K = 1，且仅当ε = 0时为局部射影平坦；否则非射影平坦。
• 在圆盘 𝕏²(ρ) 上，度量具有常旗曲率K = −1 或 K = −1/4，且当ε ≠ 0时非局部射影平坦。
• Randers度量的Riemann部分α的Gauss曲率非常数，除非ε = 0, ±1；当ε = ±1时，α的Gauss曲率为−4。
• 所有构造的度量中，S-曲率S恒为零，表明其喷射系数具有特殊对称性。
• 通过两种独立方法严格验证了旗曲率：计算Riemann曲率张量，以及使用c = 1/2的Ricci曲率公式。
• 该方法在 𝕊² 和 𝕏²(ρ) 上生成了无穷多个此类度量，表明存在丰富的一族非黎曼、非射影平坦的常曲率Finsler度量。