[论文解读] Two-dimensional FrBD friction models for rolling contact

Luigi Romano|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2026

Dynamics and Control of Mechanical Systems被引用 0

一句话总结

本论文对滚动接触的摩擦与毛刷动力学（FrBD）框架进行了全面的二维推广，推导出一个完全动态的摩擦定律以及三种处理纵向和横向滑移、转动以及接触运动学变化的分布模型。

ABSTRACT

This paper develops a comprehensive two-dimensional generalisation of the recently introduced Friction with Bristle Dynamics (FrBD) framework for rolling contact problems. The proposed formulation extends the one-dimensional FrBD model to accommodate simultaneous longitudinal and lateral slips, spin, and arbitrary transport kinematics over a finite contact region. The derivation combines a rheological representation of the bristle element with an analytical local sliding-friction law. By relying on an application of the Implicit Function Theorem, the notion of sliding velocity is then eliminated, and a fully dynamic friction model, driven solely by the rigid relative velocity, is obtained. Building upon this local model, three distributed formulations of increasing complexity are introduced, covering standard linear rolling contact, as well as linear and semilinear rolling in the presence of large spin slips. For the linear formulations, well-posedness, stability, and passivity properties are investigated under standard assumptions. In particular, the analysis reveals that the model preserves passivity under almost any parametrisation of practical interest. Numerical simulations illustrate steady-state action surfaces, transient relaxation phenomena, and the effect of time-varying normal loads. The results provide a unified and mathematically tractable friction model applicable to a broad class of rolling contact systems.

研究动机与目标

• 促使并扩展 FrBD 于二维滚动接触场景的应用。
• 建立物理扎根的毛刷流变学耦合与局部摩擦定律。
• 通过隐函数方法消除滑动速度，获得以刚性相对速度驱动的动态摩擦定律。
• 推导三种分布式滚动接触模型，复杂度依次提高（标准、大旋转、线性/半线性变体）。
• 分析线性形式的良定性、稳定性与通性，并以数值仿真作图示。

提出的方法

• 采用 Kelvin-Voigt 毛刷流变学，变形为 z、变形速率 ż 来建模毛刷力 f(z, ż)。
• 设定局部摩擦力 f_r(v_s)，在通过正定矩阵 M(v_s) 定义的凸可接受集合内达到耗散最大化。
• 利用最大耗散原理（含正则化）的解析闭式解来求解 f_r*(v_s)。
• 以隐函数定理框架将毛刷动力学与摩擦联系起来，得到 ż 的ODE，以及扩展到空间接触域时的偏微分方程。
• 开发三种分布式模型：一种标准的 FrBD 类线性模型、一种包含大旋转滑移的半线性模型，以及一种在旋转支配情形下的线性/半线性近似。
• 在线性形式下证明良定性，并考察稳定性、输入-输出稳定性（ISS/IOS）与通性特性；以数值仿真支持结果，展示稳态表面、弛豫及时变荷载的影响。

Figur 1: A schematic representation of the friction model: (a) configuration with a rigid substrate; (b) configuration with a deformable substrate. The problem is studied in a right-handed reference frame $(O;x,y,z)$ with unit vectors $(\hat{\bm{e}}_{x},\hat{\bm{e}}_{y},\hat{\bm{e}}_{z})$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 FrBD 框架从1D扩展到2D，以同时捕捉纵向和横向滑移以及转动？
• RQ2 在2D中与毛刷流变耦合且便于分析的 physically consistent 的局部摩擦定律是什么？
• RQ3 在何种条件下得到的线性2D FrBD 模型是良定的且具有被动性，这些性质如何随参数选择而变化？
• RQ4 时变法向荷载和移动接触域如何影响2D FrBD 框架中的摩擦响应？
• RQ5 三个分布式滚动接触模型（标准、半线性、以及第一阶以旋转为主导的近似）在精确度与可处理性方面有哪些差异与权衡？

主要发现

• 论文给出一个对滚动接触的二维 FrBD 摩擦模型的严格数学表述，将毛刷动力学与非线性摩擦定律统一起来。
• 对于线性形式，在标准正则性假设下建立了存在性与唯一性（良定性）。
• 在几乎所有实际参数化下模型表现出通性，支持面向控制的应用。
• 数值仿真展示稳态作用面、瞬时弛豫现象以及时变法向荷载的影响。
• 三种分布式表述涵盖标准滚动接触、大旋转滑移以及第一阶旋转支配近似，提供不同保真度的建模选项。

Figur 2: Free-body diagram of the bristle element in the $x$ and $z$ -directions, along with its reaction on the upper and lower bodies in the absence of inertial effects.