[论文解读] Two-dimensional parallel transport : combinatorics and functoriality

Romain Attal|ArXiv.org|May 31, 2001

Black Holes and Theoretical Physics被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于纤维范畴和三角剖分面上边路径的单纯群概的组合框架，用于二维平行传输。通过定义沿路径同伦的函子来将一维的holonomy推广到曲面，提供了一种范畴化、非交换的平行传输扩展，具有规范理论和弦理论方面的潜在应用。

ABSTRACT

We extend the usual notion of parallel transport along a path to triangulated surfaces. A homotopy of paths is lifted into a fibered category with connection and this defines a functor between the fibers above the boundary paths. These "sweeping functors" transport fiber bundles with connection along a surface whereas usual connections transport a group element along a path. We show that to get rid of the parametrization, we must use Abelian degrees of freedom. In the general, non-Abelian case, we conjecture that the smooth limit of this construction provides us with representations of the group of diffeomorphisms of the swept surface. Applications to gauge theories are proposed.

研究动机与目标

• 在非交换设定下，将平行传输的概念从路径推广到三角剖分曲面。
• 利用单纯结构和纤维范畴，定义二维平行传输的组合与函子框架。
• 解决阿贝尔化问题，并探讨微分同胚群在扫掠函子空间上的表示。
• 为高维规范理论和几何量子化建立范畴基础。
• 建立离散几何结构与规范理论及拓扑场论中光滑极限之间的联系。

提出的方法

• 构建一个单纯群概 $\widehat{\Pi}$，其对象为边路径，箭头为它们之间的单纯同伦。
• 在 $\widehat{\Pi}$ 上定义一个纤维范畴，为每条路径关联一个在该路径上限制的群概叠的截面范畴。
• 将扫掠函子 $S_\Gamma$ 定义为与两条边路径之间同伦 $\Gamma$ 相关的纤维范畴之间的函子。
• 利用从 $\Pi$（1-骨架）到 $G$- torsor 群概 $G_1$ 的函子，来建模具有联络的离散 $G$-丛。
• 应用2-范畴粘贴定理，确保同伦复合下扫掠函子的一致性。
• 分析扫掠函子的光滑极限，并推测其在被扫曲面的微分同胚下的变换行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将沿路径的一维平行传输推广到沿曲面的二维平行传输？
• RQ2 何种范畴结构最能编码跨曲面的几何与规范理论数据的传输？
• RQ3 扫掠函子在被扫曲面的微分同胚下如何行为？它们能否给出微分同胚群的表示？
• RQ4 非交换2-丛和纤维范畴在表述二维平行传输中起什么作用？
• RQ5 阿贝尔化问题如何影响扫掠函子的结构与不变性？

主要发现

• 本文在边路径群概 $\widehat{\Pi}$ 上构建了一个纤维范畴，实现了基于曲面的传输的范畴描述。
• 扫掠函子 $S_\Gamma$ 被定义为在同伦路径上传输数据的纤维范畴之间的函子，将holonomy推广到曲面。
• 通过粘贴定理证明扫掠函子在复合下保持一致，确保了2-范畴框架下的相干性。
• 推测扫掠函子的光滑极限在微分同胚群 $\mathrm{Diff}(\Sigma)$ 上携带表示，尽管其在该作用下不保持不变。
• 该方法提供了非交换2-丛的离散组合模型，并为高阶规范理论提供了函子语言。
• 该框架自然源于几何与集合论结构的离散化，暗示其与拓扑量子场论及对偶性存在深层联系。