[论文解读] Two dimensional supersonic solutions for the steady Euler-Poisson system in a bounded domain

Myoungjean Bae, Ben Duan+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文通过在入口处规定压力、入流角度和法向电场，建立了有界矩形区域中稳态欧拉-泊松系统二维超音速流的唯一存在性与稳定性。利用Helmholtz分解和一种新颖的乘子技巧，证明了耦合双曲-椭圆系统的适定性，获得了对解的稳定性至关重要的能量估计。

ABSTRACT

We establish the unique existence and stability of supersonic flow for steady Euler-Poisson system in a two dimensional rectangular domain when prescribing pressure, incoming flow angles, and normal electric field at the entrance. With the aid of Helmholtz decomposition for the velocity field, the supersonic flows of the Euler-Poisson system are obtained as solutions to a nonlinear system consisting of a second order hyperbolic-elliptic coupled system and several transport equations. The new feature of this work is that we achieve the well-posedness of a boundary value problem associated with a coupled system consisting of two second order quasilinear equations, where one equation is hyperbolic and the other is elliptic, via a deliberate choice of multiplier to gain energy estimate.

研究动机与目标

• 建立有界二维区域内由稳态欧拉-泊松系统控制的超音速流的适定性。
• 分析一个由一个双曲型和一个椭圆型拟线性二阶方程耦合而成的边值问题。
• 通过精心选择的乘子导出的严格能量估计，确保解的稳定性。
• 将欧拉-泊松系统的适用性扩展至具有物理上合理边界条件的超音速流。

提出的方法

• 采用Helmholtz分解将速度场分解为无旋与无散分量。
• 将欧拉-泊松系统约化为一个包含二阶双曲-椭圆耦合系统与输运方程的非线性系统。
• 引入一种特殊乘子，以推导耦合双曲-椭圆系统的能量估计。
• 利用乘子法控制解的增长，确保在混合型PDE存在下的稳定性。
• 基于能量估计，通过不动点论证建立存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有界二维区域内为稳态欧拉-泊松系统建立唯一且稳定的超音速解？
• RQ2 如何使涉及耦合双曲-椭圆系统的边值问题成为适定的？
• RQ3 乘子的选择在推导混合型拟线性系统能量估计中起什么作用？
• RQ4 Helmholtz分解能否有效解耦速度场，以简化欧拉-泊松系统的分析？

主要发现

• 本文证明了在有界二维矩形区域内，于给定边界条件下，稳态欧拉-泊松系统的超音速解具有唯一存在性。
• 通过精心选择的乘子导出的能量估计，建立了解的稳定性。
• 尽管方程具有混合类型，仍成功实现了耦合双曲-椭圆系统的适定性。
• Helmholtz分解的使用使系统得以简化为包含输运方程与二阶耦合系统的可解形式。