[论文解读] Two examples of surfaces with normal crossing singularities

Janós Kollár|ArXiv.org|May 7, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文構造了兩個不可約的、射影的具有正常交叉奇點的曲面，其 canonical 線叢表現出病態行為：一個其 canonical ring 不是有限生成的，另一個其 canonical bundle 雖非ample，但其在正規化上的拉回卻是ample的。這些例子解決了代數幾何中關於奇點曲面上 pluricanonical 系統行為的一個長期懸而未決的問題。

ABSTRACT

This note gives two examples of surfaces with normal crossing singularities. In the first example the canonical ring is not finitely generated. In the second, the canonical line bundle is not ample but its pull back to the normalization is ample. The latter answers in the negative a problem left unresolved in [EGA,III.2.6.2] and raised again by Viehweg.

研究动机与目标

• 構造具有其 canonical 線叢中出人意料行為的正常交叉曲面的顯式例子。
• 解決 EGA 中留下的問題並由 Viehweg 提出的關於奇點曲面上 canonical bundle 的 ample 性的問題。
• 證明即使曲面是射影的且為一般型，其 canonical ring 也未必是有限生成的。
• 說明將 canonical bundle 拉回到正規化後為 ample，並不能推出在奇點曲面上也是 ample。
• 強調在半對數 canonical 曲面的最小模型計畫中，canonical ring 在 flip 下作為雙有理不變量的失效。

提出的方法

• 透過沿曲線以有限態射將曲面 $S_1$ 膠合，構造第一個例子 $T_1$，形成具有兩個三重点的曲面。
• 利用正規化 $ar{S}$ 和對偶叢關係 $n^* ho_S o ho_{ar{S}}(ar{D})$ 來計算 pluricanonical 截面。
• 應用膠合準則：若 $S$ 上的除子 $H$ 與膠合曲線橫截相交，且在膠合映射下不變，則其像在商曲面上是 ample 的。
• 透過截面在奇點軌跡上必須是 $(-1)^m au$-不變的條件，計算 $ ho_S^{[m]}$ 的截面。
• 利用這樣的事實：當膠合導致無法在分支間抵消的極點時，canonical ring 就不會是有限生成的。
• 對於第二個例子 $T_2$，透過曲線乘積的商構造，並使用對合，形成具有 24 個節點的曲面，並透過正規化上的局部計算分析 canonical bundle 的行為。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一個射影的、不可約的、具有正常交叉奇點的曲面，其 canonical ring 不是有限生成的？
• RQ2 若一個具有正常交叉奇點的奇點曲面的 canonical bundle 拉回到正規化後是 ample 的，是否其本身也必然是 ample 的？
• RQ3 最小模型計畫如何影響一對曲面族中奇點纖維的 canonical ring？
• RQ4 當奇點非 canonical 時，pluricanonical 系統在 flip 下能被保留到何種程度？
• RQ5 曲線膠合的何種條件可確保對偶叢的截面能下降到奇點曲面？

主要发现

• 存在一個不可約的、射影的、一般型的正常交叉曲面 $T_1$，其 canonical ring 不是有限生成的。
• $T_1$ 是透過沿曲線以有限態射將曲面 $S_1$ 膠合而成，其 canonical ring 因膠合分支間極點階數不相容而無法有限生成。
• canonical bundle $ ho_{T_1}$ 不是 ample 的，但其拉回到正規化後是 ample 的，顯示 ample 性在奇點化映射下不被保持。
• 對於第二個例子 $T_2$，canonical bundle $ ho_{T_2}$ 不是 ample 的，即使其拉回到正規化後是 ample 的，從而解決了 EGA 和 Viehweg 提出的問題。
• 正規化上的局部計算表明，$ ho_{T_2}^{2m}$ 的每一截面在雙重曲線 $D$ 上的限制都是 $ ho_D^{2m}$ 的截面，從而強制其消失，因此導致非 ample 性。
• $T_1$ 是射影的，因為在適當除子 $H$ 滿足橫截性與不變性條件時，膠合保持了 ample 性。