[论文解读] Two families of novel second-order fractional numerical formulas and their applications to fractional differential equations

Baoli Yin, Yang Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 26被引用 10

一句话总结

本论文通过为黎曼-刘维尔分数阶积分算子构造新的生成函数，提出了两类新颖的二阶分数阶数值方法——分数阶 BT-θ 和 BN-θ 方法。这些方法通过初始奇异性校正项实现最优精度的二阶收敛性，稳定性分析证实其具有 A(ϑ)-稳定性，数值实验进一步验证了该性质。

ABSTRACT

In this article, we introduce two families of novel fractional $θ$-methods by constructing some new generating functions to discretize the Riemann-Liouville fractional calculus operator $\mathit{I}^α$ with a second order convergence rate. A new fractional BT-$θ$ method connects the fractional BDF2 (when $θ=0$) with fractional trapezoidal rule (when $θ=1/2$), and another novel fractional BN-$θ$ method joins the fractional BDF2 (when $θ=0$) with the second order fractional Newton-Gregory formula (when $θ=1/2$). To deal with the initial singularity, correction terms are added to achieve an optimal convergence order. In addition, stability regions of different $θ$-methods when applied to the Abel equations of the second kind are depicted, which demonstrate the fact that the fractional $θ$-methods are A($\vartheta$)-stable. Finally, numerical experiments are implemented to verify our theoretical result on the convergence analysis.

研究动机与目标

• 为黎曼-刘维尔分数阶积分算子开发新的二阶数值公式，以提升精度与稳定性。
• 通过引入以 θ 参数化的连续方法族，弥合现有分数阶格式（FBDF2、FTR 和 GNGF2）之间的差距。
• 通过有效的校正项解决分数阶微分方程中的初始奇异性问题，以保持最优收敛阶次。
• 分析所提出的 θ 方法在应用于第二类阿贝尔型方程时的稳定性特性，特别是其 A(ϑ)-稳定性。

提出的方法

• 提出两类新型分数阶数值方法：分数阶 BT-θ 和 BN-θ 方法，其来源于形式为 ω(ξ) = p₁(ξ)^α p₂(ξ)^β 的新颖生成函数。
• 构造的生成函数在 BT-θ 中介于 FBDF2（θ=0）与 FTR（θ=1/2）之间，在 BN-θ 中介于 FBDF2（θ=0）与 GNGF2（θ=1/2）之间。
• 通过生成函数的导数系数推导出卷积权重 ωₖ 的递推公式，实现 O(N) 复杂度下的高效计算。
• 在数值格式中引入校正项以处理初始奇异性，并在弱奇性解存在时恢复二阶收敛性。
• 通过推导并绘制应用于第二类阿贝尔方程的 θ 方法的稳定性区域，分析其稳定性，证实了 A(ϑ)-稳定性。
• 通过具有已知解的分数阶微分方程的数值实验，验证了理论收敛性与稳定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个统一的二阶分数阶数值方法族，使其在 FBDF2、FTR 和 GNGF2 等现有格式之间实现平滑插值？
• RQ2 如何设计生成函数，以确保黎曼-刘维尔分数阶积分算子的二阶收敛性？
• RQ3 在求解具有初始奇异性的分数阶微分方程时，需要何种校正项才能恢复最优收敛阶次？
• RQ4 所提出的分数阶 θ 方法是否具有 A(ϑ)-稳定性？其稳定性区域在不同 θ 值下如何表现？
• RQ5 能否推导出无需直接计算复杂数积分的卷积权重 ωₖ 的高效递推算法？

主要发现

• 所提出的分数阶 BT-θ 和 BN-θ 方法在黎曼-刘维尔分数阶积分算子上实现了二阶收敛性，收敛性分析已证明。
• 成功地将校正项集成到格式中，在初始奇异性存在时仍能恢复最优收敛阶次。
• 应用于第二类阿贝尔方程的 θ 方法的稳定性区域表现出 A(ϑ)-稳定性，证实其对刚性分数阶问题具有鲁棒性。
• 推导出卷积权重 ωₖ 的递推公式，并证明其具有 O(N) 计算复杂度，支持高效实现。
• 数值实验验证了理论收敛速率与稳定性特性，证实了所提方法的有效性。
• 生成函数方法允许通过组合多项式基函数与可调参数（θ）系统性地构造新型分数阶格式，实现灵活性与可调性。