[论文解读] Two indices Sachdev-Ye-Kitaev model

Jinwu Ye|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Advanced Condensed Matter Physics参考文献 16被引用 3

一句话总结

该论文通过马约拉纳费米子引入了双索引萨赫德夫-叶-基塔耶夫（SYK）模型，避免了原始 SU(M) SY 模型中的局部约束，并相较于四索引 SYK 模型降低了复杂度。通过在 N=∞ 下的 1/M 展开，表明量子自旋液体（QSL）态在有限 M 下仍保持共形不变性且稳定，且 1/M 修正为精确共形不变。关键的是，四点时间有序相关函数（OTOC）在 N=∞ 或 M=∞ 时均未显示量子混沌，表明混沌仅在有限 N 和 M 时出现，可能通过 1/N 量子涨落实现。

ABSTRACT

We study the original Sachdev-Ye (SY) model in its Majorana fermion representation which can be called the two indices Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model. Its advantage over the original SY model in the $ SU(M) $ complex fermion representation is that it need no local constraints, so a $1/M $ expansion can be more easily performed. Its advantage over the 4 indices SYK model is that it has only two site indices $ J_{ij} $ instead of four indices $ J_{ijkl} $, so it may fit the bulk string theory better. By performing a $1/M $ expansion at $ N=\infty $, we show that a quantum spin liquid (QSL) state remains stable at a finite $ M $. The $ 1/M $ corrections are exactly marginal, so the system remains conformably invariant at any finite $ M $. The 4-point out of time correlation ( OTOC ) shows quantum chaos neither at $ N=\infty $ at any finite $ M $, nor at $ M=\infty $ at any finite $ N $. By looking at the replica off-diagonal channel, we find there is a quantum spin glass (QSG) instability at an exponentially suppressed temperature in $ M $. We work out a criterion for the two large numbers $ N $ and $ M $ to satisfy so that the QSG instability may be avoided. We speculate that at any finite $ N $, the quantum chaos appears at the order of $ 1/M^{0} $, which is the subleading order in the $ 1/M $ expansion. When the $ 1/N $ quantum fluctuations at any finite $ M $ are considered, from a general reparametrization symmetry breaking point of view, we argue that the eThis work may motivate future works to study the possible new gravity dual of the 2 indices SYK model.ffective action should still be described by the Schwarzian one, the OTOC shows maximal quantum chaos.

研究动机与目标

• 提出一种基于马约拉纳费米子表示的双索引 SYK 模型，以避免原始 SU(M) SY 模型中存在的局部约束。
• 通过将张量秩从四索引降低至双索引，将该双索引模型与四索引 SYK 模型进行有利比较，可能提升与体弦理论的兼容性。
• 利用在 N=∞ 下的 1/M 展开，分析有限 M 下量子自旋液体（QSL）态的稳定性。
• 通过四点时间有序相关函数（OTOC）研究在不同 N 和 M 极限下的量子混沌是否存在。
• 推导在 M 中指数抑制温度下避免量子自旋玻璃（QSG）不稳定的准则。

提出的方法

• 使用马约拉纳费米子构造双索引 SYK 模型，哈密顿量为 H = ∑_{i,j} J_{ij} χ_i χ_j χ_k χ_l，其中 J_{ij} 为高斯分布，方差 ⟨J²_{ij}⟩ ∝ 1/N。
• 在 N=∞ 下进行 1/M 展开，以研究对 QSL 量子基态的修正，利用无局部约束的特性。
• 使用复制技巧和路径积分形式，引入两个辅助场 Q^{ab} 和 P^{ab}，通过 Hubbard-Stratanovich 变换实现相互作用的解耦。
• 通过积分掉费米子涨落 δP^{ab}，推导 Q^{ab} 的有效作用量，包含 δP^{ab} 的二次修正项，以捕捉 1/M 量子涨落。
• 分析鞍点解与自能结构，表明在共形极限下，P^{0}_{ab} 通过关系式 Σ^{0}_{ab} = 8Q^{ab}P^{0}_{ab} 依赖于 Q^{ab}。
• 利用时间重标度对称性破缺导出的施瓦茨函数作用量，论证量子混沌可能通过 1/N 修正在有限 N 和 M 时出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限 M 下，基于马约拉纳费米子表示的双索引 SYK 模型是否保持共形不变性与量子自旋液体序？
• RQ2 尽管存在随机相互作用，为何在 N=∞ 或 M=∞ 时，四点时间有序相关函数（OTOC）未显示量子混沌？
• RQ3 1/M 修正在 QSL 态稳定性中起什么作用？为何它们是精确共形不变的？
• RQ4 量子混沌在双索引 SYK 模型中于何种能量尺度出现？其与有限 N 和有限 M 之间相互作用的关系如何？
• RQ5 能否推导出在 M 中指数抑制温度下避免量子自旋玻璃（QSG）不稳定的准则？

主要发现

• 由于 1/M 修正为精确共形不变，量子自旋液体（QSL）态在任意有限 M 下均保持稳定且共形不变，仅通过重整化熵和比热等参数实现缩放，而不破坏共形对称性。
• 在 N=∞ 下对任意有限 M，或在 M=∞ 下对任意有限 N，四点时间有序相关函数（OTOC）均未显示量子混沌，表明在这些极限下混沌完全缺失。
• 量子混沌仅可能在有限 N 和有限 M 时出现，可能出现在 1/M 展开的次领头阶，暗示 1/N 与 1/M 修正之间存在非平凡的相互作用。
• 在 M 中指数抑制温度下出现量子自旋玻璃（QSG）不稳定性，通过调节 N 与 M 的相对大小，可推导出避免该不稳定的准则。
• 当在有限 M 下包含 1/N 量子涨落时，系统的有效作用量仍由施瓦茨函数作用量主导，暗示通过李雅普诺夫指数 λ_L = 2π/β 实现最大量子混沌。
• 在有效作用量中此前被忽略的 log Q^{ab} 项的引入，可能在 1/M 展开的零阶出现零模式，表明量子涨落谱中存在非平凡结构。