[论文解读] Two infinite classes of rotation symmetric bent functions with simple representation

Chunming Tang, Yanfeng Qi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了两个无限类旋转对称 bent 函数，定义在 $\mathbb{F}_2^n$ 上，其中 $n = 2m$，通过一个对称的二次项之和与一个旋转对称多项式 $\gamma$ 构造而成。第一类的代数次数从 2 到 $m$ 不等，第二类在额外加入一个三次项后，代数次数从 3 到 $m$ 不等，两者均被证明为 bent 函数，并且在仿射变换下等价于 Maiorana-McFarland 类中的函数。

ABSTRACT

In the literature, few $n$-variable rotation symmetric bent functions have been constructed. In this paper, we present two infinite classes of rotation symmetric bent functions on $\mathbb{F}_2^{n}$ of the two forms: { m (i)} $f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}x_ix_{i+m} + γ(x_0+x_m,\cdots, x_{m-1}+x_{2m-1})$, { m (ii)} $f_t(x)= \sum_{i=0}^{n-1}(x_ix_{i+t}x_{i+m} +x_{i}x_{i+t})+ \sum_{i=0}^{m-1}x_ix_{i+m}+ γ(x_0+x_m,\cdots, x_{m-1}+x_{2m-1})$, oindent where $n=2m$, $γ(X_0,X_1,\cdots, X_{m-1})$ is any rotation symmetric polynomial, and $m/gcd(m,t)$ is odd. The class (i) of rotation symmetric bent functions has algebraic degree ranging from 2 to $m$ and the other class (ii) has algebraic degree ranging from 3 to $m$.

研究动机与目标

• 为解决已知高代数次数旋转对称 bent 函数稀缺的问题。
• 构建新的、计算高效的旋转对称 bent 函数无限族，适用于密码学应用。
• 通过引入旋转对称多项式 $\gamma$ 并确保在 $m$ 和 $t$ 的特定条件下保持 bent 性，扩展现有构造方法。
• 证明所构造的函数属于完成的 Maiorana-McFarland 类，从而确保理论上的稳健性。

提出的方法

• 构造形如 $f(x) = \sum_{i=0}^{m-1} x_i x_{i+m} + \gamma(x_0+x_m, \dots, x_{m-1}+x_{2m-1})$ 的 bent 函数，其中 $\gamma$ 为任意旋转对称多项式。
• 将构造扩展至 $f_t(x) = \sum_{i=0}^{n-1}(x_i x_{i+t} x_{i+m} + x_i x_{i+t}) + \sum_{i=0}^{m-1} x_i x_{i+m} + \gamma(\dots)$，其中 $n=2m$ 且 $m/\gcd(m,t)$ 为奇数。
• 使用仿射变换将 Maiorana-McFarland 类中的函数映射为旋转对称形式。
• 利用映射 $a \mapsto (\pi_0(a), \dots, \pi_{m-1}(a))$ 的置换性质，其中 $\pi_i(a) = a_i a_{i+t} + a_{i+t} + a_{i+m-t}$，当 $m/\gcd(m,t)$ 为奇数时，该映射被证明是双射。
• 通过代数恒等变形与代换，验证变换后函数仍保持 bent 性。
• 利用旋转对称 bent 函数的对偶函数也保持旋转对称的性质，从而在构造中保持对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地构造出具有可控代数次数的新型旋转对称 bent 函数无限类？
• RQ2 在什么 $m$ 和 $t$ 条件下，所构造的函数能保持 bent 性与旋转对称性？
• RQ3 所构造的 bent 函数的代数次数如何随 $\gamma$ 的选择而变化？
• RQ4 所构造的函数是否与 Maiorana-McFarland 类中已知的 bent 函数等价？
• RQ5 该构造方法能否推广至包含更高次旋转对称多项式，同时保持 bent 性？

主要发现

• 第一类旋转对称 bent 函数的代数次数范围为 2 到 $m$，具体取决于 $\gamma$ 的次数。
• 第二类在增加一个三次项后，代数次数范围为 3 到 $m$，其次数由 $\gamma$ 决定。
• 通过将 Maiorana-McFarland 类中的函数经仿射变换映射为旋转对称形式，证明了构造的函数为 bent 函数。
• 所构造的函数与完成的 Maiorana-McFarland 类中的函数等价，确保了理论有效性与密码学相关性。
• $m/\gcd(m,t)$ 为奇数的条件是支撑 bent 性证明的置换性质的关键。
• 该构造方法系统且通用，可为任意满足奇数比条件的 $m$ 生成无限多族 bent 函数。