[论文解读] Two-level nonlinear Schwarz methods - a parallel implementation with application to nonlinear elasticity and incompressible flow problems

Kyrill Ho, Axel Klawonn+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2026

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一句话总结

论文提出了首个使用GDSW型粗空间（Trilinos中的FROSch）实现的并行两级非线性Schwarz方法，并在非线性Navier–Stokes和Neo-Hookean弹性问题上展示了强鲁棒性和可扩展性，在许多设置中优于标准的Newton-Krylov-Schwarz方法。

ABSTRACT

Nonlinear Schwarz methods are a type of nonlinear domain decomposition method used as an alternative to Newton's method for solving discretized nonlinear partial differential equations. In this article, the first parallel implementation of a two-level nonlinear Schwarz method leveraging the GDSW-type coarse spaces from the Fast and Robust Overlapping Schwarz (FROSch) framework in Trilinos is presented. This framework supports both additive and hybrid two-level nonlinear Schwarz methods and makes use of modifications to the coarse spaces constructed by FROSch to further enhance the robustness and convergence speed of the methods. Efficiency and excellent parallel performance of the software framework are demonstrated by applying it to two challenging nonlinear problems: the two-dimensional lid-driven cavity problem at high Reynolds numbers, and a Neo-Hookean beam deformation problem. The results show that two-level nonlinear Schwarz methods scale exceptionally well up to 9\,000 subdomains and are more robust than standard Newton-Krylov-Schwarz solvers for the considered Navier-Stokes problems with high Reynolds numbers or, respectively, for the nonlinear elasticity problems and large deformations. The new parallel implementation provides a foundation for future research in scalable nonlinear domain decomposition methods and demonstrates the practical viability of nonlinear Schwarz techniques for large-scale simulations.

研究动机与目标

• 为离散化非线性PDEs提供可扩展的非线性域分解求解器，作为Newton方法的替代方案。
• 将单级非线性Schwarz方法扩展为两级方案，使用鲁棒粗空间（GDSW/RGDSW）以改善收敛性和可扩展性。
• 在FROSch（Trilinos）中实现并行两级非线性Schwarz框架，并将其集成到FEDDLib以进行性能评估。
• 在具有挑战性的问题上展示鲁棒性和效率：高雷诺数的裂缝驱动腔流与Neo-Hookean梁变形。
• 提供对粗空间设计及其对非线性收敛性和可扩展性的影响的洞见。

提出的方法

• 描述ASPIN/RASPEN单级非线性Schwarz框架及其切线评估。
• 引入由局部非线性修正和粗线性/非线性修正组成的两级非线性Schwarz变体（加法型和混合型）。
• 构建并采用GDSW型粗空间（RGDSW和MsFEM变体），以满足类似非线性零模属性并提高可扩展性。
• 在FROSch框架（Trilinos）中实现求解器，采用模块化类结构，重点通过 Ghost 层进行并行组装。
• 用内部Newton迭代求解局部非线性问题，并为外部Newton迭代组装切线。
• 使用耦合速度和压力分量的整体粗空间来处理Navier–Stokes和弹性问题，使用Newton方法求解粗线性/非线性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 两级非线性Schwarz方法是否在弹性与不可压流动的非线性PDEs中提升收敛性和鲁棒性，相较单级方法？
• RQ2 粗空间选择（RGDSW vs GDSW vs MsFEM）如何影响并行环境中的可扩展性、收敛性和求解时间？
• RQ3 在多达数千个子域的情况下，两级非线性Schwarz的并行可扩展性如何，与Newton-Krylov-Schwarz相比如何？
• RQ4 非线性两级方法是否比标准求解器在高雷诺数和大变形情形下更鲁棒？

主要发现

• 两级非线性Schwarz方法在多达9000个子域上具有极佳的可扩展性。
• 非线性Schwarz实现通常优于使用线性Schwarz预conditoners求解线性化系统的经典Newton方法。
• 在许多情形下两级方法显示出更强的弱可扩展性和更快的求解时间，并且在高雷诺数和大变形下具有更高鲁棒性。
• RGDSW/MsFEM/GDSW粗空间提供鲁棒的粗修正，提升非线性设置下的收敛性。
• 与几种非线性单级Schwarz方法相比，两级方法在所测试的Navier–Stokes和弹性问题上提供了更好的性能。