[论文解读] Two Models for the Homotopy Theory of Cocomplete Homotopy Theories

Karol Szumiło|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文通過在兩者上構造纖維分類結構並證明其透過明確函子相互等價，建立了配備纖維分類的同倫理論與具上確界之∞-範疇之間的等價關係。主要貢獻在於提出了一個新函子——'框架的∞-範疇'——其實現了配備纖維分類的範疇的單純化局部化，從而得以具體描述其同倫類型，並促進在型理論與高階範疇論中的應用。

ABSTRACT

We prove that the homotopy theory of cofibration categories is equivalent to the homotopy theory of cocomplete quasicategories. This is achieved by presenting both homotopy theories as fibration categories and constructing an explicit equivalence between them.

研究动机与目标

• 建立配備纖維分類的同倫理論與具上確界之∞-範疇之間的等價關係。
• 透過構造配備纖維分類的配備纖維分類的範疇，解決關於'模型2-範疇的模型範疇'之基礎性問題。
• 提供一個新的、明確的函子——'框架的∞-範疇'——以實現配備纖維分類的範疇的單純化局部化。
• 證明配備纖維分類的類型論模型的單純化局部化會產生局部笛沙特定理的∞-範疇。
• 透過∞-範疇提供來自型論模型的同倫類型之具體且可計算的描述。

提出的方法

• 在配備纖維分類的範疇的範疇上構造纖維分類結構，為霍維關於'模型2-範疇的模型範疇'之問題提供肯定答案。
• 引入'框架的∞-範疇'函子，其將配備纖維分類的範疇映射至具上確界之∞-範疇，並具有有利的局部化性質。
• 使用函子 Dgκ 將單純集上的圖形與具上確界之∞-範疇關聯，以構造弱等價。
• 應用路徑對象與2-自然性的理論，證明在同倫範疇上誘導的函子為等價。
• 在有限情形（κ = ℵ₀）中，利用有限單純集上的餘極限（D^(k)K）定義 Dg_ℵ₀N_fC 與 C 之間的三段弱等價的Zig-Zag。
• 依賴普遍錐、撓射與最終常數性質，驗證框架函子保持纖維化、弱等價與精確性。

实验结果

研究问题

• RQ1 配備纖維分類的範疇的範疇上是否存在纖維分類結構，從而以某種弱意義實現'模型2-範疇的模型範疇'？
• RQ2 能否透過映射至具上確界之∞-範疇的函子，具體描述配備纖維分類的範疇的單純化局部化？
• RQ3 框架的∞-範疇函子是否提供了比既有構造更為方便且明確的局部化描述？
• RQ4 配備纖維分類的範疇的同倫理論是否能與具上確界之∞-範疇的同倫理論完全等價？
• RQ5 此等價關係對高階範疇論中依賴型理論模型有何影響？

主要发现

• 配備纖維分類的範疇的範疇具備纖維分類結構，解決了霍維關於'模型2-範疇的模型範疇'存在性問題。
• 具上確界之∞-範疇的範疇亦具備纖維分類結構，且兩者作為纖維分類範疇彼此等價。
• '框架的∞-範疇'函子 N_f: CofCat_κ → QCat_κ 是纖維分類的弱等價，從而確立主要等價關係。
• 對於配備纖維分類的範疇，其單純化局部化與框架的∞-範疇等價，從而實現局部化的具體實現。
• 該構造使我們得以證明，任何類型論模型的單純化局部化均為局部笛沙特定理的∞-範疇。
• 在有限情形（κ = ℵ₀）中，存在一個由三段弱等價組成的Zig-Zag，連接 Dg_ℵ₀N_fC 與 C，其中間函子透過有限圖形 D^(k)K 上的餘極限定義。