[论文解读] Two nonrelated Finsler structures on a manifold

Aly A. Tamim, Nabil L. Youssef|ArXiv.org|Aug 21, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文研究了同一流形上两个无关的Finsler结构 $L$ 和 $L^*$ 之间的几何关系，未假设二者之间存在任何先验联系。引入了一个 $/pi$-张量场 $B$ 来表示它们的Cartan联络之间的差异，并推导出共享测地线、Jacobi场和Morse指标性质的充要条件，特别是 $B(\overline{V},\overline{V})=0$。主要贡献在于提出了一套全局的、坐标无关的框架，通过联络差异来比较Finsler流形。

ABSTRACT

In the present paper, we consider two different {\em Finsler} structures $L$ and $L^*$ on the same base manifold $M$, with no relation preassumed between them. \par Introducing the $π$-tensor field representing the difference between the Cartan connections associated with $L$ and $L^*$, we investigate the conditions, to be satisfied by this $π$-tensor field, for the geometric objects associated with $L$ and $L^*$ to have the same properties. Among the items investigated in the paper, we consider the properties of being a geodesic, a Jacobi field, a Berwald manifold, a locally Minkowskian manifold and a Landsberg manifold. \par It should be noticed that our approach is intrinsic, i.e., it does not make use of local coordinate techniques.

研究动机与目标

• 分析同一流形上两个Finsler结构 $L$ 和 $L^*$ 之间的几何关系，不假设二者之间存在任何先验关系。
• 刻画两个Finsler流形在共享关键几何性质（如测地线、Jacobi场和共轭点）时的条件。
• 通过 $\/pi$-张量场建立一个全局的、坐标无关的框架，用于比较两个不同Finsler结构的Cartan联络。

提出的方法

• 引入一个 $\/pi$-张量场 $B$，以表示同一流形上两个Finsler结构 $L$ 和 $L^*$ 的Cartan联络之间的差异。
• 利用联络映射 $K$ 和水平提升，定义在切丛中曲线上的协变导数算子 $D/dt$ 和 $D^*/dt$。
• 应用包含 $R$、$P$ 和 $Q$ 张量的Jacobi方程和曲率恒等式，以比较测地线偏离和共轭点。
• 推导出关于 $B$ 的条件，如 $B(\overline{V},\overline{V})=0$，以确保两个结构之间Jacobi场和Morse指标的等价性。
• 通过分析曲率与挠张量在联络差异下的行为，将该框架应用于特殊Finsler流形——Berwald、局部Minkowskian和Landsberg流形。
• 采用全局张量技术，避免使用局部坐标，依赖精确正合列 $0 \to \pi^{-1}(TM) \to T({\cal T}M) \to \pi^{-1}(TM) \to 0$ 来定义水平与垂直分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，同一流形上的两个无关Finsler结构 $L$ 和 $L^*$ 具有相同的测地线？
• RQ2 何时两个Finsler流形具有完全相同的Jacobi场和共轭点？
• RQ3 对于 $\/pi$-张量场 $B$，使得两个Finsler流形在测地线上具有相同Morse指标的必要且充分条件是什么？
• RQ4 若 $(M,L)$ 是Berwald（或局部Minkowskian、Landsberg）流形，则 $(M,L^*)$ 何时也是Berwald（或局部Minkowskian、Landsberg）流形？
• RQ5 当 $\/pi$-张量场 $B$ 恒为零时，它如何影响 $L$ 与 $L^*$ 之间几何性质的等价性？

主要发现

• 若对每条测地线 $c$ 都有 $B(\overline{V},\overline{V})=0$，则两个Finsler流形 $(M,L)$ 和 $(M,L^*)$ 具有相同的Jacobi场。
• 条件 $B(\overline{V},\overline{V})=0$ 暗示两个Finsler流形在测地线上具有相同的共轭点。
• 由于Morse指标定理，若 $B(\overline{V},\overline{V})=0$，则 $(M,L)$ 与 $(M,L^*)$ 之间测地线的Morse指标保持不变。
• 若 $B$ 恒为零，则当且仅当对所有 $\overline{X} \in \mathfrak{X}(\pi(M))$ 都有 $\nabla_{\beta\overline{X}}A = 0$ 时，$(M,L^*)$ 是Berwald流形，前提是 $(M,L)$ 是Berwald流形。
• 若 $B$ 恒为零，则当且仅当对所有 $\overline{X} \in \mathfrak{X}(\pi(M))$ 都有 $\nabla_{\beta\overline{X}}A = 0$ 时，$(M,L^*)$ 是局部Minkowskian流形，前提是 $(M,L)$ 是局部Minkowskian流形。
• 若 $B$ 恒为零，则 $(M,L)$ 是Landsberg流形当且仅当 $(M,L^*)$ 是Landsberg流形，因为条件 $P(\overline{X},\overline{Y})\overline{\eta} = 0$ 是等价的。