[论文解读] Two Parameter Gamma Function and its Properties

Kuldeep Singh Gehlot|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2017

Mathematical functions and polynomials参考文献 1被引用 12

一句话总结

本文通过引入两个正实参数 p 和 k，提出经典伽马函数、贝塔函数和 Pochhammer 函数的双参数推广——分别称为 p-k 伽马函数、p-k 贝塔函数和 p-k Pochhammer 函数。作者推导了积分表示、无穷乘积形式、递推关系和函数恒等式，并建立了与经典特殊函数的联系。主要贡献在于提出了 p-k 超几何函数，及其微分方程、积分表示形式，以及与经典超几何函数的函数关系。

ABSTRACT

In this paper we introduce the Two Parameter Gamma Function, Beta Function and Pochhammer Symbol. We named them, as p - k Gamma Function, p - k Beta Function and p - k Pochhammer Symbol and denoted as $_{p}Γ_{k}(x), $ $_{p}B_{k}(x,y) $ and $_{p}(x)_{n,k} $ respectively. We prove the several identities for $_{p}Γ_{k}(x), $ $_{p}B_{k}(x,y) $ and $_{p}(x)_{n,k} $ those satisfied by the classical Gamma, Beta and Pochhammer Symbol. Also we provide the integral representation for the $_{p}Γ_{k}(x) $ and $_{p}B_{k}(x,y) $.

研究动机与目标

• 通过引入两个独立参数 p 和 k，推广经典伽马函数、贝塔函数和 Pochhammer 函数。
• 为 p-k 伽马函数建立积分表示和无穷乘积形式。
• 定义并研究 p-k 贝塔函数和 p-k Psi 函数，及其与经典函数的函数关系。
• 引入 p-k 超几何函数，并推导其微分方程、积分表示形式及其与经典超几何函数的函数关系。
• 通过双参数变形框架，统一并拓展经典特殊函数理论。

提出的方法

• 将 p-k Pochhammer 符号定义为 ${}_{p}(x)_{n,k} = \prod_{i=0}^{n-1} \left(\frac{xp}{k} + ip\right)$，其中 $x \in \mathbb{C}$，$k,p \in \mathbb{R}^+ \setminus \{0\}$，且 $\operatorname{Re}(x) > 0$。
• 通过极限定义推导 p-k 伽马函数：${}_{p}\Gamma_k(x) = \frac{1}{k} \lim_{n \to \infty} \frac{n! p^{n+1} (np)^{\frac{x}{k} - 1}}{{}_{p}(x)_{n,k}}$。
• 利用 Tannery 定理和递推关系，建立积分表示：${}_{p}\Gamma_k(x) = \int_0^\infty e^{-\frac{t^k}{p}} t^{x-1} dt$。
• 将 p-k 贝塔函数定义为 ${}_{p}B_k(x,y) = \frac{{}_{p}\Gamma_k(x) {}_{p}\Gamma_k(y)}{{}_{p}\Gamma_k(x+y)}$，并推导出多种积分形式，包括 $\frac{1}{k} B(\frac{x}{k}, \frac{y}{k})$。
• 将 p-k Psi 函数定义为对数导数：${}_{p}\psi_k(x) = \frac{d}{dx} \ln \left( {}_{p}\Gamma_k(x) \right)$，并推导其关于经典双伽马函数的闭式表达。
• 引入 p-k 超几何函数 $F(a,p,k;b,t,s;x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{i=1}^r {}_{p_i}(a_i)_{n,k_i}}{\prod_{j=1}^q {}_{t_j}(b_j)_{n,s_j}} \frac{x^n}{n!}$，并推导其微分方程和积分表示形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典伽马函数推广为包含两个独立参数 p 和 k 的形式？
• RQ2 p-k 伽马函数的积分表示和无穷乘积展开形式是什么？
• RQ3 p-k 贝塔函数和 p-k Psi 函数与其经典对应物之间有何关系？
• RQ4 p-k 超几何函数的微分方程和积分表示形式是什么？
• RQ5 p-k 超几何函数与经典超几何函数之间存在何种函数关系？

主要发现

• p-k 伽马函数具有积分表示 ${}_{p}\Gamma_k(x) = \int_0^\infty e^{-\frac{t^k}{p}} t^{x-1} dt$，在 $\operatorname{Re}(x) > 0$ 时成立。
• p-k 贝塔函数满足 ${}_{p}B_k(x,y) = \frac{1}{k} B(\frac{x}{k}, \frac{y}{k})$，直接将其与经典贝塔函数联系起来。
• p-k Psi 函数为 ${}_{p}\psi_k(x) = \frac{\ln p}{k} + \psi(\frac{x}{k})$，其中 $\psi$ 为经典双伽马函数。
• p-k 伽马函数对数的 r 阶导数为 $\frac{d^{r-1}}{dx^{r-1}} {}_{p}\psi_k(x) = (-1)^r k (r-1)! \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(x + nk)^r}$，其中 $r \geq 2$。
• p-k 超几何函数满足微分方程 $[\theta \prod_{j=1}^q (\theta + \frac{b_j}{s_j} - 1) - A x \prod_{i=1}^r (\theta + \frac{a_i}{k_i})] W = 0$，其中 $\theta = x \frac{d}{dx}$ 且 $A = \frac{\prod p_i}{\prod t_j}$。
• p-k 超几何函数与经典超几何函数之间存在函数关系：$F(a,p,k;b,t,s;x) = F(\frac{a}{k}; \frac{b}{s}; \frac{\prod p_i}{\prod t_j} x)$。