[论文解读] Two-Planar Graphs Are Quasiplanar

Michael M. Hoffmann, Csaba D. Tóth|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 5

一句话总结

本文证明了每个2-平面图（即每条边至多被交叉两次的图）也是拟平面图，这意味着它存在一种无三组边两两交叉的绘制方式。作者进一步表明，此类图可被绘制为具有简单拓扑性质的图形：边之间至多交叉一次，且相邻边不交叉，从而确立了2-平面图的拓扑特征。

ABSTRACT

It is shown that every 2-planar graph is quasiplanar, that is, if a simple graph admits a drawing in the plane such that every edge is crossed at most twice, then it also admits a drawing in which no three edges pairwise cross. We further show that quasiplanarity is witnessed by a simple topological drawing, that is, any two edges cross at most once and adjacent edges do not cross.

研究动机与目标

• 通过证明2-平面图是拟平面图，建立2-平面图的拓扑特征。
• 证明2-平面图的拟平面性可通过简单的拓扑绘制实现。
• 解决一个开放问题：2-平面图是否可被绘制为不存在三组边两两交叉的图形。
• 证明2-平面图中的交叉约束可被重新配置为一种更严格但等价的拓扑绘制条件。

提出的方法

• 作者运用拓扑图论分析2-平面图绘制中的边交叉现象。
• 他们应用组合论证，证明任意2-平面图绘制均可被重新配置为拟平面图绘制。
• 他们证明2-平面图中的边交叉可被重新排列，使得无三组边两两交叉。
• 他们确立了此类重新配置过程保持了简单性：边之间至多交叉一次，且相邻边不交叉。
• 他们利用简单拓扑绘制的概念，形式化最终的绘制条件。
• 他们依赖2-平面图的结构特性，以确保此类绘制的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个2-平面图是否都能被绘制为不存在三组边两两交叉的形式？
• RQ2 是否存在一种2-平面图的简单拓扑绘制方式，使得边之间至多交叉一次，且相邻边不交叉？
• RQ3 在拓扑意义上，2-平面性是否蕴含拟平面性？
• RQ4 2-平面图的交叉约束是否可被重构为一种更严格但等价的绘制条件？
• RQ5 除了每条边至多被交叉两次的限制外，2-平面图还具有哪些拓扑特征？

主要发现

• 每个2-平面图都是拟平面图，这意味着它存在一种无三组边两两交叉的绘制方式。
• 2-平面图的拟平面性可通过一种简单的拓扑绘制方式实现。
• 在该绘制中，任意两条边至多交叉一次。
• 在最终的简单拓扑绘制中，相邻边不交叉。
• 该结果将2-平面图作为拟平面图的一个子类，建立了其拓扑特征。
• 证明表明，2-交叉约束可被转化为一种更强且更结构化的绘制条件，而不会损失可表示性。