[论文解读] Two point Gauss-Legendre Quadrature Rule for Riemann-Stieltjes integrals

Mohammad W. Alomari|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于近似黎曼-斯蒂尔杰斯积分 ∫₋₁¹ f(t) dg(t) 的两点高斯-勒让德求积规则，使用在 ±√3/3 处的加权和。推导了权重 A 和 B 关于 g(−1)、g(1) 和 ∫₋₁¹ g(t) dt 的显式公式，并在各种光滑性假设下建立了精确的误差界，包括利普希茨连续性和 L₂ 导数。

ABSTRACT

In order to approximate the Riemann--Stieltjes integral $\int_a^b {f\left( t ight)dg\left( t ight)}$ by $2$--point Gaussian quadrature rule, we introduce the quadrature rule \begin{align*} \int_{ - 1}^1 {f\left( t ight)dg\left( t ight)} \approx A f\left( { - \frac{\sqrt 3 }{3}} ight) + B f\left( {\frac{\sqrt 3 }{3}} ight), \end{align*} for suitable choice of $A$ and $B$. Error estimates for this approximation under various assumptions for the functions involved are provided as well.

研究动机与目标

• 开发一种专用于黎曼-斯蒂尔杰斯积分的两点高斯-勒让德求积规则，此类积分相较于标准黎曼积分研究较少。
• 将经典的高斯求积技术推广至更一般的黎曼-斯蒂尔杰斯框架，其中被积函数 g(t) 不一定是恒等函数。
• 推导出权重 A 和 B 关于区间 [−1,1] 端点处的被积函数 g 和其在 [−1,1] 上积分的显式表达式。
• 在 f 和 g 的各种正则性假设下，提供该求积规则的精确误差估计，包括利普希茨连续性和 L₂ 导数。
• 通过采用现代基于不等式的误差分析方法，特别是佩亚诺核与协方差型界，弥合黎曼-斯蒂尔杰斯积分数值方法的空白。

提出的方法

• 通过要求对次数 ≤1 的多项式精确成立，构造求积规则，代入 f(t) = 1 和 f(t) = t 到近似式 ∫₋₁¹ f(t) dg(t) ≈ A f(−√3/3) + B f(√3/3)，得到方程组。
• 显式推导出权重公式：A = (3/(2√3)) [∫₋₁¹ g(t) dt − ((3−√3)/3)g(1) − ((√3+3)/3)g(−1)] 和 B = (3/(2√3)) [((3+√3)/3)g(1) + ((3−√3)/3)g(−1) − ∫₋₁¹ g(t) dt]。
• 使用佩亚诺核表示和协方差型不等式进行误差分析，特别利用泛函 T(h,h) = (1/2)‖h‖₂² − (1/4)(∫₋₁¹ h(t) dt)²。
• 通过将柯西-施瓦茨不等式应用于误差泛函，建立精确误差界，结果以 σ(f) 和 σ(g′) 表示，其中 σ(h) = 2T(h,h)。
• 在多种光滑性假设下验证该方法：利普希茨连续性、L₂ 导数和有界变差，每种情形下得出不同的误差估计。
• 理论结果被推广至特殊情形，如 g(t) = t（退化为标准高斯-勒让德规则）以及单调被积函数，通过绝对值和霍尔德型不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将两点高斯-勒让德求积规则从标准黎曼积分推广至具有任意被积函数 g(t) 的黎曼-斯蒂尔杰斯积分？
• RQ2 在黎曼-斯蒂尔杰斯框架下，权重 A 和 B 关于 g(−1)、g(1) 和 ∫₋₁¹ g(t) dt 的显式公式是什么？
• RQ3 当 f 和 g 均为利普希茨连续或其导数属于 L₂(−1,1) 时，求积规则的精确误差界是什么？
• RQ4 误差估计如何依赖于被积函数 g 和被积函数 f 的光滑性与变差？
• RQ5 能否通过霍尔德不等式或绝对值界等积分不等式，将误差分析扩展至单调或有界变差的被积函数？

主要发现

• 求积规则 ∫₋₁¹ f(t) dg(t) ≈ A f(−√3/3) + B f(√3/3) 对所有线性函数 f(t) = 1 和 f(t) = t 精确成立，确保其精度为 1 阶。
• 权重 A 和 B 显式地以 g(−1)、g(1) 和 g 在 [−1,1] 上的积分为表达式，确保该规则对任意被积函数 g 均可计算。
• 当 f 和 g 均为绝对连续函数且 f′, g′ ∈ L₂(−1,1) 时，误差被界于 σ¹ᐟ²(f) · σ¹ᐟ²(g′) 之内，其中 σ(h) = 2T(h,h)，且 T(h,h) = (1/2)‖h‖₂² − (1/4)(∫₋₁¹ h(t) dt)²。
• 在利普希茨连续性假设下，常数为 L_f 和 L_g，误差被界于 (4/3)L_f L_g 之内，且该界是精确的。
• 当 g(t) = t 时，该规则退化为标准两点高斯-勒让德规则，误差界变为 |∫₋₁¹ f(t) dt − f(−√3/3) − f(√3/3)| ≤ (H_f / (r+1)) [((3−√3)/3)^(r+1) + ((3+√3)/3)^(r+1)]，其中 H_f 为 Hölder 常数。
• 定理 4 中的误差界是精确的，常数无法再减小，其证明依赖于将柯西-施瓦茨不等式应用于误差的佩亚诺核表示。