[论文解读] Two-Point Gromov-Witten Formulas for Symplectic Toric Manifolds

Alexandra Popa|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文推导出辛toric流形上关于凹向量丛扭的亏格0两点Gromov-Witten不变量的显式闭式公式。它表明标准两点生成函数是Givental的J函数的简单变换，而该J函数本身又是单点生成函数的变换，从而可直接计算非负toric完备交的不变量，并为通过局部化技术计算亏格1不变量铺平道路。

ABSTRACT

We show that the standard generating functions for genus 0 two-point twisted Gromov-Witten invariants arising from concavex vector bundles over symplectic toric manifolds are explicit transforms of the corresponding one-point generating functions. The latter are, in turn, transforms of Givental's J-function. We obtain closed formulas for them and, in particular, for two-point Gromov-Witten invariants of non-negative toric complete intersections. Such two-point formulas should play a key role in the computation of genus 1 Gromov-Witten invariants (closed, open, and unoriented) of toric complete intersections as they indeed do in the case of the projective complete intersections.

研究动机与目标

• 推导出辛toric流形上关于凹向量丛扭的亏格0两点Gromov-Witten不变量的显式闭式公式。
• 将标准两点生成函数表示为单点生成函数的变换，而该单点生成函数本身又是Givental的J函数的变换。
• 将已知结果从射影空间推广至具有凹向量丛的一般辛toric流形。
• 为计算toric完备交的亏格1 Gromov-Witten不变量（闭合、开放、非定向）奠定基础。

提出的方法

• 在稳定映射的模空间上使用等变局部化，将不变量约化为固定点贡献。
• 应用局部化定理，计算亏格0两点不变量的等变生成函数。
• 通过模空间上的环作用推导生成级数的递推性与多项式性质。
• 通过等变上同调与特征类，建立两点生成函数为Givental的J函数的显式变换。
• 依赖凹向量丛的结构，确保某些上同调群的消失，从而可使用虚拟局部化。
• 通过从现有局部化公式推导幂级数，将结果与[LLY3]联系起来，验证变换结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式计算具有凹向量丛的辛toric流形上亏格0两点Gromov-Witten不变量？
• RQ2 在此设定下，两点生成函数与Givental的J函数之间的确切关系是什么？
• RQ3 这些不变量的单点生成函数能否显式表示为已知特殊函数或级数？
• RQ4 所推导的公式在多大程度上将射影空间中的已知结果推广至任意辛toric流形？
• RQ5 这些两点公式如何促进亏格1 Gromov-Witten不变量的计算？

主要发现

• 亏格0扭Gromov-Witten不变量的两点生成函数是单点生成函数的显式变换。
• 单点生成函数是Givental的J函数的变换，而该J函数在本文中已显式计算。
• 对于非负toric完备交，通过所推导的闭式公式可完全计算两点不变量。
• 变换结构确保两点不变量为等变参数与量子参数的有理函数。
• 结果将[PoZ]和[Z2]中的已有公式推广至任意辛toric流形。
• 所推导的公式独立于等变上同调基的选择，确保其稳健性与普遍性。