[论文解读] Two poset polytopes are mutation-equivalent

Akihiro Higashitani|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文将组合突变理论扩展至 $M_{\mathbb{R}}$ 中的有理多面体和多面锥，使包含原点在其边界上的多面体也能进行突变。证明了任意偏序集的序多面体与链多面体可通过此类突变序列相互转化，建立了这两个基本偏序集多面体之间深刻的组合等价性。

ABSTRACT

The combinatorial mutation $\mathrm{mut}_w(P,F)$ for a lattice polytope $P$ was introduced in the context of mirror symmetry for Fano manifolds in [1]. It was also proved in [1] that for a lattice polytope $P \subseteq N_\mathbb{R}$ containing the origin in its interior, the polar duals $P^* \subseteq M_\mathbb{R}$ and $\mathrm{mut}_w(P,F)^* \subseteq M_\mathbb{R}$ have the same Ehrhart series. For extending this framework, in this paper, we introduce the combinatorial mutation for the Minkowski sum of rational polytopes and rational polyhedral pointed cones in $N_\mathbb{R}$. We can also introduce the combinatorial mutation in the dual side $M_\mathbb{R}$, which we can apply for every rational polytope in $M_\mathbb{R}$ containing the origin (not necessarily in the interior). As an application of this extension of the combinatorial mutation, we prove that the chain polytope of a poset $Π$ can be obtained by a sequence of the combinatorial mutation in $M_\mathbb{R}$ from the order polytope of $Π$. Namely, the order polytope and the chain polytope of the same poset $Π$ are mutation-equivalent.

研究动机与目标

• 将组合突变框架从原本仅适用于原点位于其内部的格点多面体，扩展至 $M_{\mathbb{R}}$ 中的有理多面体与锥体。
• 使组合突变可应用于原点位于边界上的多面体，而不仅限于内部。
• 通过双空间 $M_{\mathbb{R}}$ 中的突变操作，建立两个关键偏序集多面体——序多面体与链多面体之间的联系。
• 证明同一偏序集的序多面体与链多面体可通过一系列组合突变实现突变等价。
• 为未来关于标记偏序集多面体与丰富偏序集多面体中突变等价性的研究奠定基础，包括 Gelfand-Tsetlin 多面体与 Feigin-Fourier-Littelmann-Vinberg 多面体。

提出的方法

• 在 $N_{\mathbb{R}}$ 中引入有理多面体与多面锥的广义组合突变操作，扩展了文献 [1] 中的原始定义。
• 通过分段线性映射 $\varphi_{w,F}$ 在 $M_{\mathbb{R}}$ 中定义对偶突变操作，作用于多面体的极对偶。
• 将对偶突变操作应用于 $M_{\mathbb{R}}$ 中包含原点的有理多面体，即使原点位于其边界上，从而扩大了适用范围。
• 在 $M_{\mathbb{R}}$ 中构造一系列突变，将偏序集的序多面体转化为其链多面体。
• 利用 $M_{\mathbb{R}}$ 中任意包含原点的有理多面体均为 $\mathcal{P}_N$ 中某多面体的极对偶这一事实，使突变框架得以应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 组合突变框架能否扩展至 $M_{\mathbb{R}}$ 中原点位于边界而非内部的有理多面体？
• RQ2 是否存在 $M_{\mathbb{R}}$ 中的一系列组合突变，可将偏序集的序多面体转化为其链多面体？
• RQ3 由于突变等价性，序多面体与链多面体是否具有相同的 Ehrhart 系数多项式？
• RQ4 序多面体与链多面体之间的突变等价性能否通过双空间中的分段线性变换实现？
• RQ5 对偶突变映射 $\varphi_{w,F}$ 在实现这两个多面体之间变换的过程中起到何种作用？

主要发现

• 任意偏序集 $\Pi$ 的序多面体与链多面体在 $M_{\mathbb{R}}$ 中是突变等价的，即可通过一系列组合突变相互转化。
• 序多面体与链多面体的极对偶的 Ehrhart 系数多项式完全相同，尽管这两个多面体本身并非单模等价。
• 在 $M_{\mathbb{R}}$ 中的突变操作通过分段线性映射 $\varphi_{w,F}$ 实现，该映射直接作用于双空间中的多面体。
• 该框架成功地将组合突变扩展至 $M_{\mathbb{R}}$ 中可能使原点位于边界上的有理多面体，而不仅限于内部。
• 该结果通过突变等价性为序多面体与链多面体之间已知的 Ehrhart 系数多项式相等提供了新的组合解释。
• 该方法为未来在更一般情形下证明突变等价性（如标记偏序集多面体与丰富偏序集多面体）铺平了道路，如即将发表的工作 [5] 所述。