[论文解读] Two problems on matchings in set families - in the footsteps of Erd\H{o}s and Kleitman

Péter Frankl, Andrey Kupavskii|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 15被引用 12

一句话总结

本文解决了极值集合论中的两个长期悬而未决的问题：首次精确确定了 s 个集合族在 q-依赖关系下的最大总大小（推广了交叉依赖关系），并为 Erd\'os 匹配猜想在广泛参数范围下提供了类似 Hilton-Milner 的稳定性结果。核心贡献在于通过一种新颖的归纳论证和对极值族的结构分析，建立了在 q-依赖关系下族大小总和的紧致上界，该结果推广了 Kleitman 的经典结果，推进了 Erd\'os 匹配猜想与反拉姆齐问题的研究。

ABSTRACT

The families $\mathcal F_1,\ldots, \mathcal F_s\subset 2^{[n]}$ are called $q$-dependent if there are no pairwise disjoint $F_1\in \mathcal F_1,\ldots, F_s\in\mathcal F_s$ satisfying $|F_1\cup\ldots\cup F_s|\le q.$ We determine $\max |\mathcal F_1|+\ldots +|\mathcal F_s| $ for all values $n\ge q,s\ge 2$. The result provides a far-reaching generalization of an important classical result of Kleitman. The well-known Erd\H os Matching Conjecture suggests the largest size of a family $\mathcal F\subset {[n]\choose k}$ with no $s$ pairwise disjoint sets. After more than 50 years its full solution is still not in sight. In the present paper, we provide a Hilton-Milner-type stability theorem for the Erd\H{o}s Matching Conjecture in a relatively wide range, in particular, for $n\ge (2+o(1))sk$ with $o(1)$ depending on $s$ only. This is a considerable improvement of a classical result due to Bollob\'as, Daykin and Erd\H{o}s. We apply our results to advance in the following anti-Ramsey-type problem, proposed by \"Ozkahya and Young. Let $ar(n,k,s)$ be the minimum number $x$ of colors such that in any coloring of the $k$-element subsets of $[n]$ with $x$ (non-empty) colors there is a extit{rainbow matching} of size $s$, that is, $s$ sets of different colors that are pairwise disjoint. We prove a stability result for the problem, which allows to determine $ar(n,k,s)$ for all $k\ge 3$ and $n\ge sk+(s-1)(k-1).$ Some other consequences of our results are presented as well.

研究动机与目标

• 确定在给定 n、s 和 q 的条件下，[n] 的 s 个子集族在 q-依赖关系下的大小总和的最大可能值，推广 Kleitman 关于交叉依赖族的结果。
• 在 n ≥ (2 + o(1))sk 的范围内，为 Erd\'os 匹配猜想建立一个类似 Hilton-Milner 的紧致稳定性定理，优于 Bollob\'as-Daykin-Erd\'os 的结果。
• 将新结果应用于确定彩虹匹配大小为 s 的反拉姆齐数 ar(n,k,s)，特别针对 k ≥ 3 且 n ≥ sk + (s−1)(k−1) 的情形。
• 解决关于不含大小为 s 的准匹配的族的最大大小问题，证明唯一的极值族是 [sm−2] 中所有大小至少为 m 的子集族。
• 统一并拓展极值组合学中的技术，特别是与交叉相交族和阴影最小化相关的方法，以处理此前难以处理的情形。

提出的方法

• 引入 q-依赖的概念：s 个族是 q-依赖的，当且仅当从它们中无法选出两两不相交的集合，使得总大小 ≤ q。
• 通过一种新颖的归纳论证，证明在 q-依赖关系下族大小总和的紧致上界，极值族被构造为大集合的并集。
• 将主结果应用于 Erd\'os 匹配猜想，表明任何不含 s 个两两不相交的 k-集合且大小接近猜想最大值的族，必须接近特定的极值构造 A(k)1(n,s) 或 A(k)k(n,s)。
• 通过交集的双重计数与平均化论证推导稳定性界限，利用基集元素的平均度。
• 将该方法应用于反拉姆齐问题，表明迫使出现大小为 s 的彩虹匹配的最小颜色数由不含 s 个两两不相交 k-集合的极值族的大小决定。
• 采用上集与阴影最小化的概念，证明一个关于上集阴影大小的关键引理，以确立大集合族的极值性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的 n、s 和 q，s 个 [n] 的子集族在 q-依赖关系下的大小总和的最大可能值是多少？
• RQ2 能否在广泛参数范围内（特别是 n ≥ (2+o(1))sk）为 Erd\'os 匹配猜想建立类似 Hilton-Milner 的稳定性结果？
• RQ3 最小颜色数 x 是多少，使得任何 x-色染色的 [n] 的 k-元素子集都包含一个大小为 s 的彩虹匹配（即 s 个两两不相交且颜色互异的集合）？
• RQ4 一个不含大小为 s 的准匹配的子集族的最大大小是多少？其中，准匹配最多有一个顶点的度大于 1，且该顶点的度 ≤ 2。
• RQ5 在何种条件下，所有大小至少为 m 的子集族是无准匹配问题的唯一极值族？

主要发现

• s 个在 [n] 上的 q-依赖族的大小总和至多为 (ℓ−1)\binom{n}{m} + s\sum_{t≥m+1}\binom{n}{t}，其中 n ≥ sm + s − ℓ，且该界限是紧致的。
• 对于 Erd\'os 匹配猜想，本文证明了一个稳定性结果：任何不含 s 个两两不相交的 k-集合且大小接近猜想最大值的族，必须接近极值构造 A(k)1(n,s) 或 A(k)k(n,s)，该结果在 n ≥ (2+o(1))sk 时成立。
• 对于所有 k ≥ 3 且 n ≥ sk + (s−1)(k−1)，反拉姆齐数 ar(n,k,s) 被精确确定，其极值颜色数等于不含 s 个两两不相交 k-集合的族的最大大小。
• 不含大小为 s 的准匹配的族的最大大小唯一由 [sm−2] 中所有大小至少为 m 的子集族实现，其大小为 \sum_{t=m}^{sm-2}\binom{sm-2}{t}。
• 本文证明了一个关于上集阴影大小的紧致下界：若 F 是大小为 \sum_{t=k}^n \binom{n}{t} 的上集，则 |∂F| ≥ \sum_{t=k-1}^n \binom{n}{t}，且等号成立当且仅当 F 是所有大小至少为 k 的子集族。
• 该方法解决了 Kleitman 问题中 s=3、ℓ=2 的情形，该情形此前难以用标准技术解决，通过引入一种基于极值族结构分析的根本性新证明策略得以解决。