[论文解读] Two proofs of Størmer's theorem

Guillaume Aubrun, Stanisław J. Szarek|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提供了Størmer定理的两个简洁且新颖的证明，该定理将2×2复矩阵上的保正映射刻画为完全正映射与共完全正映射之和。第一个证明利用Brouwer不动点定理，将一般情形约化为双随机情形；第二个证明则运用S-lemma与Lorentz锥对偶性，提供了一种替代经典繁琐计算的简化方法。其主要贡献在于以概念上简洁且自包含的方式推导出该定理的结构性结果。

ABSTRACT

The structure of the set of positivity-preserving maps between matrix algebras is notoriously difficult to describe. The notable exceptions are the results by Størmer and Woronowicz from 1960s and 1970s settling the low dimensional cases. By duality, these results are equivalent to the Peres-Horodecki positive partial transpose criterion being able to unambiguously establish whether a state in a 2 x 2 or 2 x 3 quantum system is entangled or separable. However, even in these low dimensional cases, the existing arguments (known to the authors) were based on long and seemingly ad hoc computations. We present a simple proof, based on Brouwer's fixed point theorem, for the 2 x 2 case (Størmer's theorem). For completeness, we also include another argument (following the classical outline, but highly streamlined) based on a characterization of extreme self-maps of the Lorentz cone and on a link - noticed by R. Hildebrand - to the S-lemma, a well-known fact from control theory and quadratic/semi-definite programming.

研究动机与目标

• 为2×2厄米矩阵上保正映射的结构提供一种新的、初等的证明。
• 通过Brouwer不动点定理的简洁论证，替代现有证明中冗长且特定的计算。
• 提供第二种简化证明，利用S-lemma与Lorentz锥对偶性，建立量子信息理论与控制理论之间的直接联系。
• 证明任意此类映射均可分解为至多四个形如$ A\rho A^\dagger $与$ B\rho^T B^\dagger $的项之和，确认分解是有限且显式的。

提出的方法

• 利用Brouwer不动点定理，证明$ \mathsf{M}_2^{sa} $上内部保正映射可通过正定算子共轭于双随机映射。
• 利用$ \mathbb{C}^2 $中密度矩阵的Bloch球表示，将双随机映射识别为映射单位球到自身的$ \mathbb{R}^3 $上的线性算子。
• 应用Carathéodory定理，将此类算子表示为至多四个正交变换的凸组合，对应于酉变换与转置映射。
• 利用对偶性，将保正映射与正半定矩阵锥联系起来，并利用Lorentz锥$ \mathcal{L}_n $的结构。
• 以重新表述的形式应用S-lemma，刻画两个二次型何时覆盖整个空间，从而证明极值性与分解性。
• 证明该保正映射锥中的任意极值映射必为Lorentz锥的自同构，从而导出所需分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 Størmer定理能否在不依赖冗长且特定计算的前提下被证明？
• RQ2 Brouwer不动点定理能否用于简化低维量子系统中保正映射结构证明？
• RQ3 控制理论中的$ S $-lemma与$ \mathsf{M}_2^{sa} $中保正映射的分解是否存在直接联系？
• RQ4 2×2厄米矩阵上保正映射的分解中，最少需要多少项？
• RQ5 Lorentz锥的结构如何与保正映射的极值性相关联？

主要发现

• 每个保正映射$ \Phi: \mathsf{M}_2^{sa} \to \mathsf{M}_2^{sa} $均可分解为$ \Phi(\rho) = \sum_j A_j \rho A_j^\dagger + \sum_k B_k \rho^T B_k^\dagger $，确认该映射是可分解的。
• 分解中项的总数至多为四个，这是由Carathéodory定理在$ \mathbb{R}^3 $中单位球上的应用所保证的。
• 基于Brouwer不动点定理的证明将一般情形约化为双随机情形，其中映射保持最大混合态与迹。
• 第二个证明建立了映射极值性与Lorentz锥$ \mathcal{L}_n $自同构之间的联系，表明非极值映射可在锥内被扰动。
• S-lemma以重新表述的形式被使用，以证明若两个二次型覆盖$ \mathbb{R}^n $，则其凸组合为正半定，这对证明极值性至关重要。
• 该证明表明，任何不在锥的极射线上的映射均可通过保持正性的扰动进行调整，这意味着该射线只有在映射为Lorentz锥自同构时才是极值的。