[论文解读] Two recursive GMRES-type methods for shifted linear systems with general preconditioning

Kirk M. Soodhalter|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 26被引用 10

一句话总结

本文提出两种递归Krylov子空间方法——位移GMRES与位移回收GMRES，用于在一般右预条件下的序列位移线性系统求解。通过将位移残差投影到基准系统生成的Krylov子空间上，该方法以最小的额外开销高效求解多个位移系统，展现出具有竞争力的性能和稳定的额外位移边际成本，尤其在灵活和不精确预条件情况下表现优异。

ABSTRACT

We present two minimum residual methods for solving sequences of shifted linear systems, the right-preconditioned shifted GMRES and shifted recycled GMRES algorithms which use a seed projection strategy often employed to solve multiple related problems. These methods are compatible with general preconditioning of all systems, and when restricted to right preconditioning, require no extra applications of the operator or preconditioner. These seed projection methods perform a minimum residual iteration for the base system while improving the approximations for the shifted systems at little additional cost. The iteration continues until the base system approximation is of satisfactory quality. The method is then recursively called for the remaining unconverged systems. We present both methods inside of a general framework which allows these techniques to be extended to the setting of flexible preconditioning and inexact Krylov methods. We present some analysis of such methods and numerical experiments demonstrating the effectiveness of the algorithms we have derived.

研究动机与目标

• 解决系数矩阵仅通过标量位移不同的多个位移线性系统高效求解的挑战。
• 克服现有方法与一般预条件不兼容或依赖Krylov子空间在位移下不变性的局限。
• 构建一个框架，通过基准系统生成的子空间实现对位移系统的最小残差投影，确保与一般右预条件的兼容性。
• 将该方法扩展至增强型Krylov子空间方法（如回收GMRES），以加速系数矩阵缓慢变化的系统序列的收敛。
• 确保与灵活和不精确Krylov方法的兼容性，扩大其在真实世界问题（如格点QCD和Tikhonov正则化）中的适用范围。

提出的方法

• 提出一种通用框架，将位移残差投影到基准系统最小残差求解过程中生成的Krylov子空间上。
• 推导出位移GMRES作为递归方法，利用基准系统生成的Krylov子空间以低开销最小化位移系统的残差。
• 将该框架扩展至位移回收GMRES，引入谐波Ritz向量回收机制，以加速系统序列的收敛。
• 采用种子投影策略复用各组位移间的Krylov子空间，最大限度减少冗余矩阵-向量乘积和存储开销。
• 通过避免对Krylov子空间在位移下不变性的假设，确保与一般右预条件的兼容性。
• 将方法集成至灵活和不精确Krylov求解器中，使其适用于具有变 preconditioner 或不精确矩阵-向量乘积的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种递归最小残差方法，在保持与一般右预条件兼容的前提下，高效求解多个位移线性系统？
• RQ2 使用所提出的递归框架求解每个额外位移系统时的边际计算成本是多少？
• RQ3 在不同位移幅度下，位移回收GMRES方法与标准回收GMRES在收敛性和稳定性方面的表现如何比较？
• RQ4 该框架在多大程度上可扩展至灵活和不精确Krylov子空间方法？
• RQ5 该方法在不同位移分布下（包括大或小位移幅度）是否仍保持有效性？

主要发现

• 位移GMRES与位移回收GMRES方法表现出具有竞争力的性能，后者在位移数量较多时展现出更优的边际成本稳定性。
• 对于位移区间[0,1]，位移回收GMRES的每个额外位移系统的边际成本持续下降且低于标准回收GMRES。
• 对于位移区间[1,10]，标准回收GMRES的边际成本上升，而位移回收GMRES的边际成本趋于平稳并保持稳定，表明其具有更好的可扩展性。
• 在大规模QCD矩阵上的数值实验表明，位移系统残差的改善程度与位移大小相关：条件较好的系统（较大σ）收敛更快，但Lanczos-Galerkin投影的有效性降低。
• 该框架与灵活和不精确Krylov方法完全兼容，使其可广泛应用于具有变 preconditioner 的真实世界问题。
• 在使用右预条件时，该方法无需额外的矩阵-向量乘积，仅需基准系统迭代的开销，因此计算效率极高。