[论文解读] Two Results on Homogeneous Hessian Nilpotent Polynomials

Arno van den Essen, Wenhua Zhao|ArXiv.org|Apr 13, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文建立了关于齐次Hessian幂零（HN）多项式两个关键结果：第一，若由HN多项式与二次型∑zᵢ²定义的射影簇仅在HN簇的正则点处相交，则消失猜想成立；第二，消失猜想等价于一个更强的条件，即对任意多项式f(z)，有Δᵐ(fPᵐ) = 0对充分大的m成立。这些结果通过对称映射约化推进了雅可比猜想的解决。

ABSTRACT

Let $z=(z_1, ..., z_n)$ and $Δ=\sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial z^2_i}$ the Laplace operator. A formal power series $P(z)$ is said to be {\it Hessian Nilpotent}(HN) if its Hessian matrix $\Hes P(z)=(\frac {\partial^2 P}{\partial z_i\partial z_j})$ is nilpotent. In recent developments in [BE1], [M] and [Z], the Jacobian conjecture has been reduced to the following so-called {\it vanishing conjecture}(VC) of HN polynomials: {\it for any homogeneous HN polynomial $P(z)$ $($of degree $d=4$$)$, we have $Δ^m P^{m+1}(z)=0$ for any $m>>0$.} In this paper, we first show that, the VC holds for any homogeneous HN polynomial $P(z)$ provided that the projective subvarieties ${\mathcal Z}_P$ and ${\mathcal Z}_{σ_2}$ of $\mathbb C P^{n-1}$ determined by the principal ideals generated by $P(z)$ and $σ_2(z):=\sum_{i=1}^n z_i^2$, respectively, intersect only at regular points of ${\mathcal Z}_P$. Consequently, the Jacobian conjecture holds for the symmetric polynomial maps $F=z- abla P$ with $P(z)$ HN if $F$ has no non-zero fixed point $w\in \mathbb C^n$ with $\sum_{i=1}^n w_i^2=0$. Secondly, we show that the VC holds for a HN formal power series $P(z)$ if and only if, for any polynomial $f(z)$, $Δ^m (f(z)P(z)^m)=0$ when $m>>0$.

研究动机与目标

• 在齐次HN多项式P的射影簇Z_P的几何条件约束下，证明其消失猜想成立，其中P的次数d ≥ 4。
• 建立消失猜想与一个形式上更强的陈述之间的等价性，后者涉及任意多项式f(z)，即Δᵐ(fPᵐ) = 0对充分大的m成立。
• 通过将对称多项式映射F = z − ∇P的性质约化，为雅可比猜想的解决做出贡献。
• 阐明Hessian幂零性与拉普拉斯算子作用在多项式理想与微分方程结构中的作用。

提出的方法

• 使用代数几何方法分析ℂPⁿ⁻¹中射影簇Z_P与Z_σ₂的交点，其中σ₂(z) = ∑zᵢ²。
• 应用欧拉公式，并利用公共零点对应于对称映射F = z − ∇P的不动点这一条件。
• 应用拉普拉斯算子Δ及其在Pᵐ⁺¹上的迭代作用Δᵐ，以检验消失猜想。
• 利用多项式空间中的对偶性及双线性型B_m的非退化性，证明解空间的有限维性。
• 使用恒等式Δᵐ(fPᵐ) = ∑包含混合偏导数与多项式系数的项，以分析更强的猜想。
• 依赖于文献[Z]中关于HN多项式的已知结果，以及雅可比猜想与消失猜想之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当齐次HN多项式P的次数d ≥ 4时，其射影簇Z_P在何种几何条件下，消失猜想成立？
• RQ2 消失猜想是否等价于更强的陈述：对所有多项式f(z)及充分大的m，有Δᵐ(f(z)P(z)ᵐ) = 0？
• RQ3 对称映射F = z − ∇P的不动点如何与簇Z_P的奇点及ΔᵐPᵐ⁺¹的消失性相关联？
• RQ4 能否将消失猜想约化为涉及∂P/∂zᵢ(D)与Δ的偏微分方程组解空间的条件？

主要发现

• 对于任意次数d ≥ 4的齐次HN多项式P，若射影簇Z_P与Z_σ₂仅在Z_P的正则点处相交，则消失猜想成立。
• 消失猜想等价于对所有多项式f(z)及所有充分大的m，有Δᵐ(f(z)P(z)ᵐ) = 0。
• 若对称映射F = z − ∇P不存在满足∑wᵢ² = 0的非零不动点w，则F满足雅可比猜想。
• 方程组Δu = 0与∂P/∂zᵢ(D)u = 0对所有i成立的解空间为有限维，当且仅当簇Z_P与Z_σ₂无共同非零零点。
• 由于各项的次数增长，ΔᵐPᵐ⁺¹在大m时的消失性可由解空间的有限维性推出。
• 对所有f及充分大m，Δᵐ(fPᵐ) = 0的更强条件蕴含消失猜想，反之亦然，此等价性通过显式展开及各项的次数界得到证明。