[论文解读] Two robust nonconforming H$^2-$elements for linear strain gradient elasticity

Hongliang Li, Pingbing Ming+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出两种针对线性应变梯度弹性的稳健非协调H²-有限元，旨在保持扰动参数下的能量范数最优收敛性。这些有限元为H¹-协调但H²-非协调，其收敛性通过离散H²-Korn不等式建立，确保在微观参数趋于零时仍具有鲁棒性和最优收敛速率。

ABSTRACT

We propose two nonconforming finite elements to approximate a boundary value problem arising from strain gradient elasticity, which is a higher-order perturbation of the linearized elastic system. Our elements are H$^2-$nonconforming while H$^1-$conforming. We show both elements converges in the energy norm uniformly with respect to the perturbation parameter.

研究动机与目标

• 开发对线性应变梯度弹性中微小扰动参数具有鲁棒性的有限元方法。
• 构造H²-非协调但H¹-协调的有限元，避免传统C¹有限元带来的高自由度问题。
• 建立离散H²-Korn不等式，以确保非协调逼近的稳定性和收敛性。
• 证明能量范数下关于微观参数的统一收敛性，且不依赖于网格尺寸。
• 通过在均匀和非均匀网格上的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 作者提出一种针对分片向量场的新型离散H²-Korn不等式，类比Brenner的H¹-Korn不等式，以确保非协调逼近的稳定性。
• 基于此离散不等式构造了两种非协调H²-有限元，其局部自由度强制梯度与应变的弱连续性。
• 这些有限元为H¹-协调，即满足位移场的连续性，但不满足梯度的C¹连续性，从而相比协调H²有限元显著减少自由度。
• 收敛性分析依赖于离散H²-Korn不等式以及关于扰动参数的统一强一致性。
• 在非均匀网格上进行数值实验，采用不同取值的微观参数，以检验方法的鲁棒性与收敛速率。
• 通过收敛表格验证方法，结果显示在多个参数区域内均呈现最优收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为线性应变梯度弹性构造出在扰动参数趋于零时仍保持鲁棒性的非协调有限元？
• RQ2 为确保应变梯度弹性中非协调H²-有限元的收敛性，需要何种离散稳定性条件？
• RQ3 所提出的有限元是否能在能量范数下对微观参数实现一致的最优收敛速率？
• RQ4 在非均匀网格上以及不同参数取值下，收敛速率表现如何？
• RQ5 离散H²-Korn不等式是否足以保证此类高阶问题中非协调逼近的统一收敛性？

主要发现

• 所提出的非协调H²-有限元在能量范数下对扰动参数具有统一收敛性，且收敛速率最优。
• 数值实验表明，随着网格加密，两种有限元的收敛速率均趋近于1.98–1.99，表明在能量范数下达到二阶收敛。
• 对于第一种有限元，所有测试参数值（1e-5至1e0）下均观测到约1.96–1.99的收敛速率，证实了统一鲁棒性。
• 对于第二种有限元，在相同条件下也实现了1.96–1.99的收敛速率，表明在整个参数范围内均具有统一收敛性。
• 成功建立了离散H²-Korn不等式，为证明统一收敛性与稳定性奠定了基础。
• 即使在非均匀网格上，这些有限元仍保持最优收敛性，证实其在实际自适应计算环境中的鲁棒性。