[论文解读] Two-Sample Tests Based on Geometric Graphs: Asymptotic Distribution and Detection Thresholds

Bhaswar B. Bhattacharya|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文在泊松化设定下，推导了基于几何图（如最小生成树和K近邻（K-NN）图）的两样本检验的渐近分布，适用于一般替代假设。它确定了K-NN检验的检测阈值和极限局部功效，揭示了量化不同设定下性能的维度相关指数。

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of testing the equality of two multivariate distributions based on geometric graphs, constructed using the inter-point distances between the observations. These include the test based on the minimum spanning tree and the $K$-nearest neighbor (NN) graphs, among others. These tests are asymptotically distribution-free, universally consistent, and computationally efficient, making them particularly useful in modern applications. However, very little is known about the power properties of these tests. In this paper, using the theory of stabilizing geometric graphs, we derive the asymptotic distribution of these tests under general alternatives, in the Poissonized setting. Using this, the detection threshold and the limiting local power of the test based on the $K$-NN graph are obtained, where interesting exponents depending on dimension emerge. This provides a way to compare and justify the performance of these tests in different examples.

研究动机与目标

• 为了理解基于几何图的两样本检验的统计功效特性，这些检验被广泛使用，但其统计性能尚不明确。
• 利用稳定几何图理论，推导这些检验在一般替代假设下的渐近分布。
• 在高维设定下，推导基于K-NN图的检验的检测阈值和极限局部功效。
• 为在不同维度下比较不同几何图检验的性能提供理论基础。

提出的方法

• 使用泊松化设定，以简化基于几何图的检验统计量的渐近分析。
• 应用稳定几何图理论，推导在一般替代假设下检验统计量的极限分布。
• 聚焦于K-NN图，并推导其在局部替代假设下的渐近分布。
• 通过分析检验统计量在替代假设下发散的速度，计算检测阈值。
• 识别出控制在连续替代假设下检验收敛速度的维度相关指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般替代假设下，基于几何图的两样本检验的渐近分布是什么？
• RQ2 在高维设定下，基于K-NN图的检验的检测阈值是什么？
• RQ3 K-NN检验的局部功效如何依赖于数据的维度？
• RQ4 哪些指数控制了在局部替代假设下检验的收敛速度？

主要发现

• 在泊松化设定下，推导了基于几何图的两样本检验在一般替代假设下的渐近分布。
• 刻画了基于K-NN图的检验的检测阈值，揭示了其与数据维度相关的临界速率。
• K-NN检验的极限局部功效表现出维度相关指数，表明其性能随数据维度的变化而显著不同。
• 结果为在不同采样和维度条件下比较不同几何图检验的敏感性提供了理论依据。