[论文解读] Two-Scale Approach to an Asymptotic Solution of Maxwell Equations in Layered Periodic Media

Maria V. Perel, Mikhail S. Sidorenko|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Photonic Crystals and Applications参考文献 10被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种双尺度渐近方法，用于求解三维层状周期介质中靠近色散面驻点的麦克斯韦方程组。结果表明，主导阶解由两个具有缓慢变化包络的弗洛quet-布洛赫模态组成，其中包络满足双曲型或椭圆型方程，具体取决于驻点的性质，从而能够描述局域化或不失真波束的传播。

ABSTRACT

An asymptotic investigation of monochromatic electromagnetic fields in a layered periodic medium is carried out under the assumption that the wave frequency is close to the frequency of a stationary point of the dispersion surface. We find solutions of Maxwell equations by the method of two-scale asymptotic expansions. We establish that the principal order of the expansion of a solution dependent on three spatial coordinates is the sum of two differently polarized Floquet-Bloch solutions, each of which is multiplied by a slowly varying envelope function. We derive that the envelope functions satisfy a system of differential equations with constant coefficients. In new variables, it is reduced to a system of two independent equations, both of them are either hyperbolic or elliptic, depending on the type of the stationary point. The envelope functions are independent only in the planar case. Some consequences are discussed.

研究动机与目标

• 对三维层状周期介质中单色电磁场在色散面驻点附近的数学分析。
• 将双尺度渐近方法扩展至矩阵形式的麦克斯韦方程组，适用于非散度型方程。
• 推导控制弗洛quet-布洛赫模态缓慢调制的包络函数的微分方程组。
• 根据色散面驻点的性质，表征包络方程的类型（双曲型或椭圆型）。
• 建立包络函数保持独立且解属于所需函数空间的条件。

提出的方法

• 采用双尺度渐近展开方法，引入快变量（周期性）和慢变量（宏观尺度）空间变量。
• 按照Felsen和Marcuvitz的建议，将麦克斯韦方程组表示为矩阵形式，以实现系统的渐近分析。
• 将解分解为两个弗洛quet-布洛赫模态的和，每个模态由一个缓慢变化的包络函数调制。
• 通过渐近展开中的项匹配，推导出包络函数的常系数微分方程组。
• 根据色散面在驻点处的曲率，将该系统转化为两个独立的方程——双曲型或椭圆型。
• 利用泛函分析和对称性论证，确保解的存在性与连续性，特别是通过齐次弗洛quet-布洛赫解来补偿特解在周期边界处的跳跃。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将双尺度渐近方法适配于层状周期介质中非散度型形式的麦克斯韦方程组？
• RQ2 在三维色散面驻点附近，麦克斯韦方程组的主导阶解具有何种结构？
• RQ3 在何种条件下，两个极化弗洛quet-布洛赫模态的包络函数会解耦为独立的双曲型或椭圆型方程？
• RQ4 当特解在周期边界处出现跳跃时，如何构造解以保持其连续性并属于所需的函数空间？
• RQ5 什么决定了有效包络描述中的波动力学为双曲型（波动型）还是椭圆型（局域化）？

主要发现

• 主阶解是两个不同极化弗洛quet-布洛赫模态的叠加，每个模态由一个缓慢变化的包络函数调制。
• 包络函数满足常系数微分方程组，该方程组可解耦为两个独立方程。
• 包络方程的类型（双曲型或椭圆型）由色散面上驻点的性质决定。
• 仅在平面情形下，包络函数才相互独立，此时波矢依赖关系得以简化。
• 通过调整齐次弗洛quet-布洛赫解的系数，可使解在周期边界处连续，从而抵消特解的边界跳跃。
• 该方法证实了层状介质中存在不失真波束传播，与早期的数值和物理研究一致，且现获得了三维空间中严格的数学证明。