[论文解读] Two-scale method for the Monge-Ampère Equation: Pointwise Error Estimates

Ricardo H. Nochetto, Dimitrios Ntogkas+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文为在 $d \geq 2$ 维下应用于Monge-Ampère方程的双尺度有限元方法建立了逐点误差估计。通过利用离散Alexandroff估计证明离散解对数据的连续依赖性，作者推导出具有Hölder或Sobolev正则性的经典解的 $L^\infty$ 收敛率为 $h^{2/\beta}$，而对于具有有界、可能退化的Hessian矩阵的粘性解，收敛率有所降低。

ABSTRACT

In this paper we continue the analysis of the two-scale method for the Monge-Ampère equation for dimension $d \geq 2$ introduced in [10]. We prove continuous dependence of discrete solutions on data that in turn hinges on a discrete version of the Alexandroff estimate. They are both instrumental to prove pointwise error estimates for classical solutions with Hölder and Sobolev regularity. We also derive convergence rates for viscosity solutions with bounded Hessians which may be piecewise smooth or degenerate.

研究动机与目标

• 为在 $d \geq 2$ 条件下应用于Monge-Ampère方程的双尺度有限元方法建立逐点 $L^\infty$ 误差估计。
• 证明离散解对数据的连续依赖性，这是推导误差界的关键要素。
• 将收敛性分析扩展至具有Hölder和Sobolev正则性的经典解，以及具有有界、可能不连续Hessian矩阵的粘性解。
• 分析在退化情形 $f \geq 0$ 下的收敛率，去除非退化性假设 $f > 0$。
• 通过识别 $\delta/h \gg 1$ 因子作为理论误差界次优性的来源，调和理论误差界与先前工作中观察到的线性收敛率。

提出的方法

• 该方法基于通过正交方向基表示Hessian行列式的极小-极大公式。
• 离散解定义在大小为 $h$ 的非结构化拟均匀网格上的连续分段线性有限元空间上。
• 粗尺度 $\delta$ 控制计算二阶方向差分 $\nabla^2_\delta u(x;v)$ 的模板，以近似Hessian矩阵。
• 离散Monge-Ampère算子 $T_\varepsilon[u_\varepsilon](x_i)$ 定义为在离散正交基集合 $\mathbb{S}^\perp_\theta$ 上的最小值，使用二阶差分的正部与负部。
• 采用离散Alexandroff估计以建立离散解对数据的连续依赖性，从而实现误差传播分析。
• 通过障碍函数和离散凸性分析插值误差与一致性误差，仔细控制 $\delta/h$ 缩放因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有Hölder正则性的Monge-Ampère方程经典解，双尺度有限元方法的收敛率是多少？
• RQ2 该方法在具有有界但可能不连续Hessian矩阵的粘性解上表现如何？
• RQ3 在退化情形 $f \geq 0$ 下，该方法能否在不假设 $f > 0$ 的条件下实现最优收敛率？
• RQ4 为何理论误差估计未能达到先前工作中观察到的线性收敛率？
• RQ5 $\delta/h$ 比值在限制收敛率方面起什么作用？是否可以缓解？

主要发现

• 对于具有Hölder正则性的经典解，该方法实现了 $L^\infty$ 收敛率 $h^{2/\beta}$，其中 $\beta > 2$ 依赖于正则性指数。
• 对于具有Sobolev正则性的经典解，在更弱的正则性假设下也获得了相同的收敛率 $h^{2/\beta}$。
• 对于具有分段Sobolev正则性且Hessian矩阵不连续的粘性解，收敛率虽有所降低，但仍具有定量有界性。
• 在退化情形 $f \geq 0$ 下，正则化过程给出了 $h^{\frac{1}{d}(1 - 2/\beta)}$ 阶的收敛率，虽为次优但为文献中首次此类估计。
• 理论上的次优性被归因于连续依赖性估计中的 $\delta/h \gg 1$ 因子，该因子在离散Alexandroff方法中是固有的。
• 证明了双尺度方法在适当离散化下等价于Feng和Jensen提出的半拉格朗日方法，从而也将误差估计推广至该格式。