[论文解读] Two Schemes for Fractional Diffusion and Diffusion-Wave Equations with Nonsmooth Data

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用 19

一句话总结

本文提出两种全离散格式——分别基于空间上的分段线性伽辽金有限元法和时间上的卷积求积法（结合向后欧拉法或二阶向后差分法）——用于处理具有非光滑初值的分数阶亚扩散方程与扩散波方程。即使解不具备经典光滑性，这两种格式在时间上仍分别实现了最优的收敛阶一和阶二，该结论通过严格的误差估计与数值实验得到验证。

ABSTRACT

We consider the initial/boundary value problem for the fractional diffusion and diffusion-wave equations involving a Caputo fractional derivative in time. We develop two "simple" fully discrete schemes based on the Galerkin finite element method in space and convolution quadrature in time with the generating function given by the implicit backward Euler method/second-order backward difference method, and establish error estimates optimal with respect to the regularity of the initial data. These two schemes are first and second-order accurate in time for nonsmooth initial data. Extensive numerical experiments for one and two-dimensional problems confirm the convergence analysis. A detailed comparison with several popular time stepping schemes is also performed. The numerical results indicate that the proposed fully discrete schemes are accurate and robust for nonsmooth data, and competitive with existing schemes.

研究动机与目标

• 为具有非光滑初值的分数阶亚扩散方程与扩散波方程开发稳健的数值格式。
• 克服现有方法对解具有高时间正则性要求的局限性。
• 建立即使解在时间上不属 $ C^2 $ 或 $ C^3 $ 时依然有效的最优误差估计。
• 确保对光滑与非光滑问题数据均具备稳定性与收敛性。
• 通过广泛的二维数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 空间半离散化采用在凸多边形区域上的分段线性伽辽金有限元法。
• 时间半离散化采用基于向后欧拉法或二阶向后差分法的卷积求积法。
• 卷积求积的生成函数由底层时间推进格式导出，从而保证稳定性与精度。
• 所提格式为全离散格式，结合空间半离散与时间推进格式。
• 误差估计基于拉普拉斯算子的谱性质及解在加权时间空间中的正则性分析。
• 分析涵盖初值属于 $ L^2(\bar{\Omega}) $ 与 $ H^1_0(\bar{\Omega}) $ 的齐次与非齐次问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解缺乏经典光滑性时，是否仍可为分数阶亚扩散与扩散波方程实现最优收敛速率？
• RQ2 基于向后欧拉法与二阶向后差分法的卷积求积格式在非光滑数据下的表现如何？
• RQ3 数据正则性对全离散有限元格式收敛行为有何影响？
• RQ4 能否推导出仅依赖于数据正则性、而无需依赖解光滑性的误差估计？
• RQ5 这些格式在不同数据类型（包括 $ L^2 $ 初值与 $ H^1 $ 初始条件）下的鲁棒性如何？

主要发现

• 基于向后欧拉卷积求积的首阶格式在光滑与非光滑数据下均实现了最优的 $ O(\tau) $ 时间收敛阶。
• 基于二阶向后差分法的二阶格式在光滑与非光滑数据下均实现了最优的 $ O(\tau^2) $ 时间收敛阶。
• 误差界以数据正则性表示，无需解具备 $ C^2 $ 或 $ C^3 $ 光滑性。
• 格式对 $ v \in L^2(\Omega) $ 与 $ b \in L^2(\Omega) $ 稳定且鲁棒，即使解在 $ t=0 $ 附近表现出奇异性。
• 二维数值实验验证了理论收敛速率及在不同数据正则性下的鲁棒性。
• 理论估计表明，解的时间正则性由数据正则性控制，满足 $ \|\partial_t^m u\|_{L^2(\Omega)} \leq c t^{\alpha - m} \|f\|_{W^{m-1,\infty}(0,T;L^2(\Omega))} $，其中 $ m=1,2 $。