[论文解读] Two-sided asymptotic bounds for the complexity of cyclic branched coverings of two-bridge links

Carlo Petronio, Andreĭ Vesnin|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2006

Geometric and Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

该论文在覆盖阶数趋于无穷时，为三维球面中双射链的循环分支覆盖的Matveev复杂度建立了双边线性渐近界。利用Cao-Meyerhoff和Lackenby对双曲体积的估计得到下界，通过显式三角剖分得到上界，作者证明了复杂度随覆盖阶数线性增长，同时为基本群的Delzant T-不变量提供了界。

ABSTRACT

Abstract. We consider closed orientable 3-dimensional hyperbolic manifolds which are cyclic branched coverings of the 3-sphere, with branching set being a two-bridge knot (or link). As the order of the covering tends to infinity we establish two-sided linear asymptotic bounds for the Matveev complexity of the covering manifold. The lower estimate uses the hyperbolic volume and results of Cao-Meyerhoff and Lackenby, while the upper estimate is based on an explicit triangulation, which also allows us to give a bound on the Delzant T-invariant of the fundamental group of the manifold. 1. Definitions, motivations and statements Complexity Using simple spines (a technical notion from piecewise linear topology that we will not need to recall in this paper), Matveev [15] introduced a notion of complexity for compact 3-dimensional manifolds. If M is such an object, its complexity c(M) ∈ N is a very efficient measure of “how complicated ” M is, because: • every 3-manifold can be uniquely expressed as a connected sum of prime ones (this is an old and well-known fact, see [10]); • c is additive under connected sum; • if M is closed and prime, c(M) is precisely the minimal number of tetrahedra needed to triangulate M.

研究动机与目标

• 确定作为三球面中双射纽结或链的循环分支覆盖的闭定向双曲3-流形的Matveev复杂度的渐近界。
• 利用双曲体积和Cao-Meyerhoff与Lackenby关于覆盖中体积增长的已知结果，建立复杂度的下界。
• 通过覆盖流形的显式三角剖分推导上界，从而实现复杂度的估计。
• 将复杂度与基本群的Delzant T-不变量联系起来，提供一个几何不变量的界。
• 证明当覆盖阶数趋于无穷时，Matveev复杂度随覆盖阶数线性增长。

提出的方法

• 利用覆盖流形的双曲体积作为复杂度的下界，依赖于Matveev等人建立的体积-复杂度关系。
• 应用Cao-Meyerhoff与Lackenby关于循环覆盖中体积增长的结果，估计体积的渐近行为，从而估计复杂度。
• 构建循环分支覆盖流形的显式三角剖分，以提供单形数量的上界，从而得到复杂度的上界。
• 利用该三角剖分推导出流形基本群的Delzant T-不变量的界，将几何复杂度与群论不变量联系起来。
• 结合下界与上界，建立覆盖阶数增加时复杂度的双边线性渐近估计。
• 依赖于Matveev复杂度等于素的闭3-流形中三角剖分的最小单形数这一事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 当覆盖阶数趋于无穷时，双射链的循环分支覆盖的Matveev复杂度的渐近增长速率是什么？
• RQ2 如何利用双曲体积为这类覆盖的复杂度推导下界？
• RQ3 覆盖流形的显式三角剖分能否提供其复杂度的可计算上界？
• RQ4 覆盖流形的复杂度与其基本群的Delzant T-不变量之间存在何种关系？
• RQ5 这些流形的复杂度是否关于覆盖阶数有线性有界？

主要发现

• 当覆盖阶数趋于无穷时，循环分支覆盖流形的Matveev复杂度随覆盖阶数线性增长。
• 利用双曲体积和Cao-Meyerhoff与Lackenby关于覆盖中体积增长的结果，建立了复杂度的下界。
• 对覆盖流形的显式三角剖分提供了复杂度的上界，且该上界关于覆盖阶数为线性。
• 来自三角剖分的上界也给出了流形基本群的Delzant T-不变量的界。
• 下界与上界的结合，为复杂度提供了双边线性渐近估计。
• 结果证实，复杂度在覆盖阶数上是精确线性的，且有效常数由几何与拓扑不变量导出。