[论文解读] Two-sided linear chance constraints and extensions

Miles Lubin, Daniel Bienstock+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用 16

一句话总结

本文在高斯不确定性下建立了双边线性机会约束的凸性，并提出了一种具有可证明小误差的二阶锥外逼近方法，使复杂非线性机会约束（特别是电力系统中相关的二次约束）得以高效求解。该方法在具有强理论保证的前提下，实现了大规模不确定性优化的实用化。

ABSTRACT

We examine the convexity and tractability of the two-sided linear chance constraint model under Gaussian uncertainty. We show that these constraints can be applied directly to model a larger class of nonlinear chance constraints as well as provide a reasonable approximation for a challenging class of quadratic chance constraints of direct interest for applications in power systems. With a view towards practical computations, we develop a second-order cone outer approximation of the two-sided chance constraint with provably small approximation error.

研究动机与目标

• 在高斯不确定性下建立双边线性机会约束的凸性，扩展机会约束优化的可解性。
• 为电力系统运行中出现的二次机会约束开发一种实用且计算高效的近似方法。
• 为双边机会约束提供一种可证明准确的二阶锥松弛方法，以适用于大规模优化。
• 在涉及可再生能源不确定性的真实电力系统问题中，展示所提近似方法的有效性。
• 通过双边形式的视角，探索更一般非线性机会约束的凸性与可解性。

提出的方法

• 利用几何洞察和高斯分布的对数凹性，证明当 $\epsilon \leq 1/2$ 时，双边机会约束 $\mathbb{P}(a \leq x^T\xi \leq b) \geq 1 - \epsilon$ 在 $a$、$b$ 和 $x$ 上的凸性。
• 开发了双边机会约束的二阶锥（SOC）外逼近方法，并提供了可证明的逼近误差界。
• 将双边约束作为构建模块，用于近似更复杂的二次机会约束 $\mathbb{P}((a^T\xi + b)^2 + (c^T\xi + d)^2 \leq k) \geq 1 - \epsilon$。
• 利用舒尔补和半定规划技术，推导出该近似的可处理二阶锥形式。
• 将所提出的 SOC 近似与鲁棒方法和基于 CVaR 的近似进行比较，通过数值积分和可视化评估性能。
• 在第 4.2 节采用分布式鲁棒模型，将适用范围扩展至高斯假设之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高斯不确定性下，双边线性机会约束 $\mathbb{P}(a \leq x^T\xi \leq b) \geq 1 - \epsilon$ 在 $a$、$b$ 和 $x$ 上是否为凸？
• RQ2 双边机会约束能否用于构建电力系统中二次机会约束的可处理且精确的近似？
• RQ3 所提出的二阶锥形式对双边机会约束的逼近质量如何？与鲁棒方法和 CVaR 方法相比表现如何？
• RQ4 在何种条件下，二次机会约束的可行集是凸的？
• RQ5 所提方法能否扩展至非高斯的椭球对数凹分布？

主要发现

• 当 $\epsilon \leq 1/2$ 时，双边机会约束 $\mathbb{P}(a \leq x^T\xi \leq b) \geq 1 - \epsilon$ 在 $a$、$b$ 和 $x$ 上为凸，该结果通过几何和对数凹性论证得到证明。
• 所提出的双边机会约束的二阶锥逼近具有可证明的小逼近误差，使其在大规模优化中可可靠使用。
• 在 $n=2$ 情况下，基于卡方分布的不确定性集的鲁棒逼近是最小的，若不违反可行性则无法进一步降低保守性。
• 双边逼近产生一个简单的球约束 $x^2 + y^2 \leq 1/\Phi^{-1}(1 - \epsilon/4)^2$，在 $n=2$ 情况下比鲁棒盒约束更紧。
• 数值结果表明，当 $\epsilon = 0.5$ 时，鲁棒和双边逼近均优于 CVaR 近似；当 $\epsilon = 0.05$ 时，无一种近似严格占优，且精确集合表现出凸性。
• 基于计算实验，本文推测：当 $\epsilon$ 足够小时，二次机会约束的可行集为凸。