[论文解读] Two-Sided Matching Markets with Correlated Random Preferences

Hugo Gimbert, Claire Mathieu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 12被引用 2

一句话总结

本文研究了在偏好相关联的双边市场中的稳定匹配，表明当女性的偏好高度相关时（例如，从流行度分布中抽取），任何女性的最佳与最差稳定匹配对象之间的期望排名差异被一个常数所限制，且大多数女性拥有唯一的稳定匹配对象。这意味着即使男性偏好具有对抗性或不相关，其策略性操纵的激励也有限。

ABSTRACT

Stable matching in a community consisting of men and women is a classical combinatorial problem that has been the subject of intense theoretical and empirical study since its introduction in 1962 in a seminal paper by Gale and Shapley, who designed the celebrated ``deferred acceptance'' algorithm for the problem. In the input, each participant ranks participants of the opposite type, so the input consists of a collection of permutations, representing the preference lists. A bipartite matching is unstable if some man-woman pair is blocking: both strictly prefer each other to their partner in the matching. Stability is an important economics concept in matching markets from the viewpoint of manipulability. The unicity of a stable matching implies non-manipulability, and near-unicity implies limited manipulability, thus these are mathematical properties related to the quality of stable matching algorithms. This paper is a theoretical study of the effect of correlations on approximate manipulability of stable matching algorithms. Our approach is to go beyond worst case, assuming that some of the input preference lists are drawn from a distribution. Our model encompasses a discrete probabilistic process inspired by a popularity model introduced by Immorlica and Mahdian, that provides a way to capture correlation between preference lists. Approximate manipulability is approached from several angles : when all stable partners of a person have approximately the same rank; or when most persons have a unique stable partner. Another quantity of interest is a person's number of stable partners. Our results aim to paint a picture of the manipulability of stable matchings in a ``beyond worst case'' setting.

研究动机与目标

• 理解偏好列表的相关性如何影响双边市场中稳定匹配的结构与可操纵性。
• 研究偏好相关是否会导致核心收敛——即仅存在少量稳定匹配——从而减少策略性激励。
• 量化在偏好相关模型下，尤其是基于流行度的分布下，个体的稳定匹配数量。
• 建立近似可操纵性的理论边界，如稳定匹配对象之间的排名差异以及匹配的唯一性。

提出的方法

• 将偏好列表建模为从常规分布中随机抽取，重点关注每个个体对潜在匹配对象赋分的流行度偏好模型。
• 以男性提议的延迟接受算法为基线，通过逐步揭示男性偏好的随机过程分析稳定匹配对象。
• 利用集中不等式，并通过流行度得分的凸性与詹森不等式，对稳定匹配对象的期望数量进行对数边界估计。
• 通过提案序列与流行度比率的递归分析，限制稳定匹配对象的数量，尤其在存在显著流行度差距时。
• 引入偏好披露的随机过程以建模算法3的执行过程，该算法枚举给定女性的所有稳定丈夫。
• 利用流行度比率与提案序列的对数函数推导稳定匹配对象期望数量的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 女性偏好列表的相关性如何影响其最佳与最差稳定匹配对象之间的排名差异？
• RQ2 在何种条件下，大多数个体拥有唯一的稳定匹配对象，从而降低策略性操纵的激励？
• RQ3 当男性与女性均具有基于流行度的偏好时，女性可能拥有的稳定匹配对象的期望数量是多少？
• RQ4 在偏好相关条件下，稳定匹配对象之间的流行度比率如何随市场规模变化？
• RQ5 当偏好接近均匀或高度相关时，稳定匹配对象的数量是否可在多对数时间内被界定？

主要发现

• 当女性偏好从常规分布中抽取，且排名靠前k位的男性被优先考虑的概率受u_k有界时，任何女性的稳定匹配对象之间的期望排名差异至多为(1 + 2 exp(Σk≥1 k u_k)) · Σk≥1 k² u_k。
• 若女性偏好高度相关（即排名几乎完全相同），则最佳与最差稳定匹配对象之间的期望排名差异被一个常数所限制，表明操纵激励有限。
• 当男性偏好任意但女性偏好高度相关时，大多数女性拥有唯一的稳定匹配对象，显著减少了策略性操纵的机会。
• 对于基于流行度的偏好，当男性偏好接近均匀（R_M接近1）时，女性的期望稳定匹配对象数量被O(log N)所限制，且该边界依赖于女性偏好的相似性（Q_W）。
• 以高概率（≥1 - 2/N²）可得，女性任意两个稳定丈夫之间的流行度比率至多为N^5 · Q_W^(1 + 4 ln N (1 + log₂ N) / ln(1 + 1/R_M))，表明极端流行度差异极不可能发生。
• 期望稳定匹配对象数量的上界为ln(|L_w|) + ln(max_m∈L_w D_w(m)/D_w(μ_M(w)))，其中L_w为收到的提案列表，该边界在现实偏好模型下为紧致的对数上界。