[论文解读] Two-sided Robustly Testable Codes

Gleb Kalachev, Pavel Panteleev|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文证明了在高概率下，两个随机线性码的张量积具有强鲁棒可测试性，确立了双侧鲁棒可测试性的强形式。结果表明，这类码——同时对乘积码及其对偶均具有鲁棒性——可简化并强化具有线性距离的渐近最优量子LDPC码的构造。

ABSTRACT

We show that the tensor product of two random linear codes is robustly testable with high probability. This implies that one can obtain pairs of linear codes such that their product and the product of their dual codes are simultaneously robustly testable. Such two-sided robustly testable codes (with a much weaker form of robustness) were the key ingredient in the recent constructions of asymptotically good quantum LDPC codes, which ensured their linear minimum distance. We hope that the existence of such codes with a stronger form of robustness, shown here, can be used to simplify the proofs and provide better distance bounds in these constructions. We also give new very simple examples of non-robustly testable codes. We show that if the parity-checks of two codes are mutually orthogonal, then their product is not robustly testable. In particular, this implies that the product of a code with its dual can never be robustly testable. We also study a property of a collection of linear codes called product-expansion, which can be viewed as a coboundary expansion of the cochain complex naturally associated with the product of these codes. We show that this property is related with the robust testability and the agreement testability of the products of codes.

研究动机与目标

• 通过随机线性码建立双侧鲁棒可测试码的存在性——即码及其对偶均可鲁棒可测试。
• 加强近期量子LDPC码构造中的鲁棒性条件，此前这些构造依赖于较弱形式的鲁棒性。
• 阐明码乘积无法鲁棒可测试的条件，特别是当校验矩阵相互正交时。
• 引入并分析乘积扩展性质，作为统一框架，连接鲁棒可测试性、一致测试可测试性与码几何结构。
• 探索多维码乘积中鲁棒性参数 ρ 的渐近极限，特别是在量子码设计背景下的意义。

提出的方法

• 证明了在 𝔽_q 上，任意固定速率 R₁, R₂ ∈ (0,1) 的两个随机线性码的张量积，在 n → ∞ 时以高概率具有 ρ-鲁棒可测试性。
• 引入乘积扩展的概念，作为最小距离在多维码复形中的推广，其中 ρ(𝓒₁,𝓒₂) 衡量扩展因子。
• 建立乘积扩展与一致测试可测试性之间的等价关系，表明 ρ-乘积扩展蕴含 ρ-一致测试可测试性。
• 使用概率方法和集中不等式，证明随机码以高概率实现高乘积扩展性。
• 证明若两个码的校验矩阵相互正交，则其乘积不可鲁棒可测试，包括码与其对偶的情形。
• 给出鲁棒性参数的Singleton型界 ρ ≤ ε₁ε₂ + 1/n，并与使用逆熵函数 H⁻¹_q 的渐近界进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意固定速率 R₁, R₂ ∈ (0,1)，两个随机线性码的张量积是否以高概率具有鲁棒可测试性？
• RQ2 是否可以构造线性码对，使得其乘积码及其对偶的乘积码均可鲁棒可测试？
• RQ3 何种结构条件会阻止码乘积具有鲁棒可测试性，特别是与校验矩阵正交性相关时？
• RQ4 乘积扩展性质如何与多维码复形中的鲁棒可测试性和一致测试可测试性相关联？
• RQ5 对于速率 R₁ = 1−ε, R₂ = 1−(1−ε) 的码对，鲁棒性参数 ρ 的渐近界是什么？其与信息论极限相比如何？

主要发现

• 在 n → ∞ 时，任意固定速率 R₁, R₂ ∈ (0,1) 的两个随机线性码的张量积，以高概率具有 ρ-鲁棒可测试性，其中 ρ > 0 依赖于 R₁ 和 R₂。
• 对于速率 R₁ = 1−ε, R₂ = 1−(1−ε) 的码对，当 ε → 0 时，鲁棒性参数满足 ρ = Θ(H⁻¹_q(ε))，与上界仅相差常数因子。
• 若两个码的校验矩阵相互正交，则其乘积不可鲁棒可测试——这包括码与其对偶的情形。
• 乘积扩展性质将最小距离的概念推广至多维码复形，且与一致测试可测试性等价。
• 鲁棒性参数满足Singleton型界 ρ ≤ ε₁ε₂ + 1/n，且在渐近情形下该界在低阶项意义下是紧的。
• 存在具有强鲁棒性的双侧鲁棒可测试码，可为量子LDPC码构造带来潜在简化与更优的距离界。