[论文解读] Two Squares of Opposition: for Analytic and Synthetic Propositions

Andrew Schumann|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过将布尔代数扩展至非阿基米德模型，提出了一种非亚里士多德的、合成命题的新型对偶正方形，与用于分析判断的经典正方形不同。证明了存在两种不同的对偶正方形：一种为常规（用于分析命题），另一种为非传统（用于合成命题），其中矛盾、反对、下反对及下位关系基于真值的代数排序重新定义，从而解决了长期以来将正方形应用于如“所有物体都有重量”这类合成判断时存在的问题。

ABSTRACT

In the paper I prove that there are two squares of opposition. The unconventional one is built up for synthetic propositions. There a, i are contrary, a, o (resp. e, i) are contradictory, e, o are subcontrary, a, e (resp. i, o) are said to stand in the subalternation.

研究动机与目标

• 解决康德与里克特所指出的经典对偶正方形无法适用于合成命题这一长期存在的问题。
• 证明尽管合成命题因缺乏包含关系而无法通过文氏图分析，但仍具有连贯的逻辑结构。
• 通过非阿基米德布尔代数的扩展，形式化一个与经典正方形不同的第二组对偶正方形。
• 通过定义真值条件与代数模型中的逻辑关系，为合成三段论奠定基础。

提出的方法

• 本文构建了一个非阿基米德模型 $\mathfrak{M}_B$，使用一个通过星运算 $^*$ 扩展的布尔代数 $B$，将真值定义为等价类 $[f]$、$[f\neg]$、$\neg[f]$、$\neg[f\neg]$。
• 在这些类上定义了逻辑运算，如否定（$\neg[f] = {}^*1 - [f]$）、合取（$[x] \wedge [y] = \inf([x], [y])$）与析取（$[x] \vee [y] = \sup([x], [y])$）。
• 通过分析真值类之间的八种可能排序，识别出两种满足正方形关系的独立配置：一种为常规，一种为合成。
• 当 $[f\neg] \leq \neg[f]$ 时，常规正方形适用，保持标准对偶关系：矛盾（$[f], [f\neg]$）、反对（$[f], \neg[f]$）、下反对（$\neg[f\neg], \neg[f]$）与下位（$[f], \neg[f\neg]$）。
• 当 $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ 时，合成正方形出现，重新定义关系：矛盾（$[f], \neg[f\neg]$）、反对（$[f], \neg[f]$）、下反对（$\neg[f], [f\neg]$）与下位（$[f], [f\neg]$）。
• 定义了一个非阿基米德三段论模型 $\mathfrak{B}$，将原子三段论公式映射到 $\mathfrak{M}_B$ 中的真值，并通过这些值上的布尔运算给出真值条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在合成命题不满足文氏图所需包含关系的前提下，能否构建一个连贯的对偶正方形？
• RQ2 在对偶关系方面，合成命题的逻辑结构与分析命题有何不同？
• RQ3 何种代数框架能够支持存在两个不同的对偶正方形（一个用于分析，一个用于合成）？
• RQ4 如何在非阿基米德模型中正式定义合成命题的真值，并通过逻辑运算建立其关系？
• RQ5 布尔代数及其 $^*$-运算扩展在建模常规与合成对偶正方形中起到何种作用？

主要发现

• 在非阿基米德模型 $\mathfrak{M}_B$ 中，恰好存在两个对偶正方形：一个常规，一个合成，具体取决于真值类的排序。
• 当 $[f\neg] \leq \neg[f]$ 时，常规正方形适用，保持标准对偶关系：$[f]$ 与 $[f\neg]$ 为反对，$[f]$ 与 $\neg[f]$ 为矛盾，$\neg[f\neg]$ 与 $\neg[f]$ 为下反对，$[f]$ 与 $\neg[f\neg]$ 为下位。
• 当 $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ 时，合成正方形适用，重新定义关系：$[f]$ 与 $\neg[f\neg]$ 为反对，$[f]$ 与 $\neg[f]$ 为矛盾，$\neg[f]$ 与 $[f\neg]$ 为下反对，$[f]$ 与 $[f\neg]$ 为下位。
• 该模型验证了像“所有物体都有重量”这类缺乏文氏图中包含关系的合成命题，仍能通过合成对偶正方形系统地分析。
• 本文确立了合成三段论可通过非阿基米德三段论模型 $\mathfrak{B}$ 形式化，其中原子公式被映射到 $\mathfrak{M}_B$ 中的真值，布尔运算定义了复合公式的语义。
• 证明确认，在给定假设下仅存在两个对偶正方形，且合成正方形由条件 $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ 唯一确定。