[论文解读] Two-stack-sorting with pop stacks

Lara Pudwell, Rebecca Smith|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文通过禁止的经典模式与带横线的模式刻画了经过两轮弹出栈排序的排列，建立了其与扭曲圆柱面上一类特殊多格形的双射关系，证明了这些排列的计数方式与三个经典排列类相同，并满足常系数线性递推关系。

ABSTRACT

We consider the set of permutations that are sorted after two passes through a pop stack. We characterize these permutations in terms of forbidden patterns (classical and barred) and enumerate them according to the ascent statistic. Then we show these permutations to be in bijection with a special family of polyominoes. As a consequence, the permutations sortable by this machine are shown to have the same enumeration as three classical permutation classes.

研究动机与目标

• 刻画通过两轮弹出栈排序的排列集合。
• 使用组合与递归方法，根据上升数对这些排列进行计数。
• 在宽度为3的扭曲圆柱面上，建立两轮弹出栈可排序排列与一类特定多格形之间的双射关系。
• 证明两轮弹出栈可排序排列的计数方式与三个经典排列类相同。
• 研究这些排列的结构性质，包括上升数分布的对数凹性与对称性。

提出的方法

• 通过禁止经典模式与带横线模式刻画两轮弹出栈可排序排列，具体为避免 2341、3412、3421、4123、4231、4312 与 41352。
• 基于排列的块分解为递减序列，定义递归结构，对相邻块之间的相对极大值与极小值施加约束。
• 构建两轮弹出栈可排序排列与宽度为3的扭曲圆柱面上矩形多格形之间的双射关系，其中块大小与相对顺序决定矩形之间的间距（1或2个空格）。
• 使用生成函数与递推关系对按上升数计数的排列进行计数，证明该序列满足常系数线性递推关系。
• 通过共享计数关系，证明两轮弹出栈可排序排列类与三个经典排列类的Wilf等价性。
• 提出并验证关于上升数分布对数凹性与块大小分布对称性的猜想，特别关注具有最大上升数的奇数长度排列。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些排列可通过两轮弹出栈排序？如何通过禁止模式进行刻画？
• RQ2 两轮弹出栈可排序排列按上升数的精确计数是多少？其序列由何种递推关系控制？
• RQ3 是否存在两轮弹出栈可排序排列与一类多格形之间的双射关系？若存在，何种几何约束定义了该双射？
• RQ4 两轮弹出栈可排序排列是否与任何经典排列类具有相同的计数？若是，是哪些？
• RQ5 该排列类中上升数或块大小的分布是否存在结构性对称性或对数凹性？

主要发现

• 两轮弹出栈可排序排列的集合通过避免带横线模式 41352 与经典模式 2341、3412、3421、4123、4231、4312 进行刻画。
• 长度为 n 且有 k 个上升的两轮弹出栈可排序排列的数量，记为 a(n,k)，满足常系数线性递推关系。
• 两轮弹出栈可排序排列类与宽度为3的扭曲圆柱面上一类特殊多格形之间存在双射关系，该多格形由具有特定间距规则的矩形块构成，间距基于块间值关系确定。
• 两轮弹出栈可排序排列的计数方式与三个经典排列类相同，确立了与 Av(2431, 3412, 3421, 4123, 4213, 4231, 4312, 4321)、Av(2413, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4312, 4321) 与 Av(1342, 1432, 3142, 3412, 4123, 4132, 4213, 4312) 的Wilf等价性。
• 数据支持猜想1：序列 {a(n,k)} 对所有 n 均为对数凹性。
• 小规模 n 下验证猜想3：a(2n+1, n) = 2b(2n+1, n)，表明长度为 2n+1 的奇数排列中，恰好有 n 个上升且最后一块大小为1的排列数与最后一块大小大于1的排列数相等。