[论文解读] Two-step scale-splitting method for solving complex symmetric system of linear equations

Davod Khojasteh Salkuyeh|arXiv (Cornell University)|May 6, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于求解复对称线性系统 $(W + iT)x = b$ 的两步尺度分裂（TSCSP）方法，其中 $W$ 和 $T$ 为对称正定或半正定矩阵。该方法通过引入基于尺度和分裂的两步迭代过程，提升了收敛性和效率，实现了无条件收敛行为，并在数值实验中以更低的迭代次数和CPU时间，优于SCSP、MHSS、PMHSS和GSOR方法。

ABSTRACT

Based on the Scale-Splitting (SCSP) iteration method presented by Hezari et al. in (A new iterative method for solving a class of complex symmetric system linear of equations, Numerical Algorithms 73 (2016) 927-955), we present a new two-step iteration method, called TSCSP, for solving the complex symmetric system of linear equations $(W+iT)x=b$, where $W$ and $T$ are symmetric positive definite and symmetric positive semidefinite matrices, respectively. It is shown that if the matrices $W$ and $T$ are symmetric positive definite, then the method is unconditionally convergent. The optimal value of the parameter, which minimizes the spectral radius of the iteration matrix is also computed. Numerical {comparisons} of the TSCSP iteration method with the SCSP, the MHSS, the PMHSS and the GSOR methods are given to illustrate the effectiveness of the method.

研究动机与目标

• 为偏微分方程、结构动力学和量子色动力学中出现的复对称线性系统开发一种更高效的迭代求解器。
• 通过引入两步迭代过程，改进尺度分裂（SCSP）方法，以提升收敛速度和鲁棒性。
• 建立理论收敛条件，并计算使迭代矩阵谱半径最小化的最优参数 $\alpha$。
• 在多个测试问题上，通过迭代次数和CPU时间，对TSCSP与现有方法（SCSP、MHSS、PMHSS、GSOR）进行数值比较。
• 证明TSCSP在问题规模增大时仍保持稳定的收敛行为，而MHSS的性能则随维度增加而恶化。

提出的方法

• TSCSP方法对原始系统 $(W + iT)x = b$ 进行 $\alpha - i$ 的尺度变换，导出等价系统，再将其分裂为两个子系统。
• 第一步求解 $(\alpha I + W)z^{(k+1/2)} = (\alpha I - iT)z^{(k)} + b$，第二步求解 $(\alpha I + T)z^{(k+1)} = (\alpha I + iW)z^{(k+1/2)} - ib$，两步均使用对称正定矩阵。
• 该方法利用 $W$ 和 $T$ 的对称性与正定性，确保每一步均可通过Cholesky分解或共轭梯度法求解。
• 通过分析迭代矩阵，推导出谱半径，并解析计算使收敛速率最小化的最优 $\alpha$。
• 该方法基于实数算术，避免复数运算，从而提升计算效率。
• 通过不同规模和矩阵结构的基准问题，对TSCSP与SCSP、MHSS、PMHSS和GSOR进行了数值比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 SCSP方法的两步扩展是否能在复对称线性系统上实现比原始SCSP更快的收敛速度和更好的可扩展性？
• RQ2 使TSCSP迭代矩阵谱半径最小化的松弛参数 $\alpha$ 的最优值是什么？
• RQ3 在不同问题规模下，TSCSP在迭代次数和CPU时间方面相较于MHSS、PMHSS、GSOR和SCSP的表现如何？
• RQ4 当问题规模增大时，TSCSP是否仍能保持收敛的鲁棒性和稳定性，尤其在MHSS性能恶化的情况下？
• RQ5 与SCSP和GSOR等单步方法相比，两步结构在多大程度上减少了达到收敛所需的迭代次数？

主要发现

• 当 $W$ 和 $T$ 为对称正定时，TSCSP方法具有无条件收敛性，确保了对所有此类系统的鲁棒性。
• TSCSP的最优参数 $\alpha$ 已通过解析方法推导得出，并被证明可使迭代矩阵的谱半径最小化。
• 在示例1（$n=1024^2$）中，TSCSP仅需22次迭代和59.23秒，远少于MHSS（452次迭代，1063.81秒）和GSOR（76次迭代，182.58秒）。
• 在示例2中，TSCSP在 $n=1024^2$ 时仅需22次迭代，而PMHSS需38次，MHSS需452次，凸显了TSCSP在可扩展性方面的优越性。
• 在示例3中，TSCSP在 $n=1024^2$ 时仅需23次迭代，而SCSP需94次，MHSS需869次，表明迭代次数显著减少。
• 在示例4中，TSCSP在 $n=1024^2$ 时仅需8次迭代，优于GSOR（25次）、PMHSS（28次）和MHSS（28次），且CPU时间最低，仅为3.91秒。