[论文解读] Two Structural Results for Low Degree Polynomials and Applications

Gil Cohen, Avishay Tal|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Coding theory and cryptography被引用 5

一句话总结

本文针对有限域上的低次多项式建立了两个结构性结果：首先，任一在 $\mathbb{F}_q$ 上的 $n$ 个变量的 $d$ 次多项式，必在某个维度为 $\Omega(d \cdot n^{1/(d-1)})$ 的仿射子空间上为常数，且该界是紧致的；其次，此类多项式将 $\mathbb{F}_q^n$ 划分为维度为 $\Omega(n^{1/(d-1)!})$ 的仿射子空间，使得在每个子空间上多项式为常数。这些结果可推广至多个多项式、稀疏多项式以及接近低次多项式的函数，并在提取器、分散器和电路复杂度中具有应用。

ABSTRACT

In this paper, two structural results concerning low degree polynomials over finite fields are given. The first states that over any finite field $\mathbb{F}$, for any polynomial $f$ on $n$ variables with degree $d \le \log(n)/10$, there exists a subspace of $\mathbb{F}^n$ with dimension $Ω(d \cdot n^{1/(d-1)})$ on which $f$ is constant. This result is shown to be tight. Stated differently, a degree $d$ polynomial cannot compute an affine disperser for dimension smaller than $Ω(d \cdot n^{1/(d-1)})$. Using a recursive argument, we obtain our second structural result, showing that any degree $d$ polynomial $f$ induces a partition of $F^n$ to affine subspaces of dimension $Ω(n^{1/(d-1)!})$, such that $f$ is constant on each part. We extend both structural results to more than one polynomial. We further prove an analog of the first structural result to sparse polynomials (with no restriction on the degree) and to functions that are close to low degree polynomials. We also consider the algorithmic aspect of the two structural results. Our structural results have various applications, two of which are: * Dvir [CC 2012] introduced the notion of extractors for varieties, and gave explicit constructions of such extractors over large fields. We show that over any finite field, any affine extractor is also an extractor for varieties with related parameters. Our reduction also holds for dispersers, and we conclude that Shaltiel's affine disperser [FOCS 2011] is a disperser for varieties over $F_2$. * Ben-Sasson and Kopparty [SIAM J. C 2012] proved that any degree 3 affine disperser over a prime field is also an affine extractor with related parameters. Using our structural results, and based on the work of Kaufman and Lovett [FOCS 2008] and Haramaty and Shpilka [STOC 2010], we generalize this result to any constant degree.

研究动机与目标

• 确定在任意有限域上，任一 $d$ 次多项式在仿射子空间上为常数的最大维度。
• 理解低次多项式的内在结构，特别是其在子空间上的行为。
• 将结构性结果推广至多个多项式、稀疏多项式以及接近低次多项式的函数。
• 将这些结构性洞见应用于伪随机性问题，包括对代数曲线和仿射空间的提取器与分散器。
• 建立仿射分散器与提取器之间的联系，并分析 $\mathsf{AC}^0[\oplus]$ 电路在计算此类对象时的局限性。

提出的方法

• 通过递归子空间构造法，证明对于 $\mathbb{F}_q$ 上 $n$ 个变量的任意 $d$ 次多项式 $f$，当 $d \leq \log n / 10$ 时，存在一个维度为 $\Omega(d \cdot n^{1/(d-1)})$ 的仿射子空间，使得 $f$ 在其上为常数。
• 通过构造一个多项式，证明该界无法被进一步扩大，从而证明其紧致性。
• 基于第一个结构性结果，使用递归论证，将 $\mathbb{F}_q^n$ 划分为维度为 $\Omega(n^{1/(d-1)!})$ 的仿射子空间，使得 $f$ 在每个子空间上为常数。
• 通过将相同的递归分解应用于多项式系统，将结果推广至多个多项式。
• 利用 DeMillo-Lipton-Schwartz-Zippel 引理的变体，将第一个结构性结果推广至稀疏多项式以及接近低次多项式的函数。
• 利用电路复杂度和随机限制技术，将结构性结果应用于证明：仿射提取器同时也是代数曲线的提取器，且常数次仿射分散器可导出提取器。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限域上，任一 $d$ 次多项式在仿射子空间上为常数的最大维度是多少？
• RQ2 低次多项式的结构能否用于将空间划分为多项式为常数的子空间？此类子空间的维度是多少？
• RQ3 低次多项式的结构性质如何与代数曲线和仿射子空间的提取器及分散器的存在性相关联？
• RQ4 这些结构性结果在多于一个多项式、稀疏多项式以及接近低次多项式的函数上，能推广到何种程度？
• RQ5 这些结构性结果对仿射分散器与提取器的电路复杂度，特别是 $\mathsf{AC}^0[\oplus]$ 电路，有何影响？

主要发现

• 对于任意在 $\mathbb{F}_q$ 上的 $d$ 次多项式，当 $d \leq \log n / 10$ 时，存在一个维度为 $\Omega(d \cdot n^{1/(d-1)})$ 的仿射子空间，使得该多项式在其上为常数，且该界是紧致的。
• 任一 $d$ 次多项式将 $\mathbb{F}_q^n$ 划分为维度为 $\Omega(n^{1/(d-1)!})$ 的仿射子空间，使得在每个子空间上多项式为常数，该划分通过递归分解实现。
• 第一个结构性结果可推广至稀疏多项式以及接近低次多项式的函数，使用 DeMillo-Lipton-Schwartz-Zippel 引理的推广形式。
• 任意有限域上的仿射提取器同时也是相关参数下代数曲线的提取器，且 Shaltiel 在 $\mathbb{F}_2$ 上构造的仿射分散器也是代数曲线的分散器。
• 任意在素数域上的常数次仿射分散器，也是具有相关参数的仿射提取器，推广了此前对三次多项式的结论。
• 深度为 3 的 $\mathsf{AC}^0[\oplus]$ 电路可计算最优的仿射提取器，而深度为 2 的 $\mathsf{AC}^0[\oplus]$ 电路无法计算维度为 $o(n/\mathrm{polylog}(n))$ 的良好仿射分散器。