[论文解读] Two switching multiple disorder problems for Brownian motions

Pavel V. Gapeev|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 3

一句话总结

本文通过最优切换控制与自由边界问题方法，解决了布朗运动中切换漂移率下两种形式的切换多源紊乱问题。推导出闭式解，其中最优停时对应后验概率过程触及常数边界，风险函数与边界通过特殊函数（如赫恩函数与柯姆默函数）显式表达。

ABSTRACT

The multiple disorder problem seeks to determine a sequence of stopping times which are as close as possible to the unknown times of disorders at which the observation process changes its probability characteristics. We derive closed form solutions in two formulations of the multiple disorder problem for an observable Brownian motion with switching constant drift rates. The method of proof is based on the reduction of the initial problems to appropriate optimal switching problems and the analysis of the associated coupled free-boundary problems. We also describe the sequential switching multiple disorder detection procedures resulting from these formulations.

研究动机与目标

• 解决布朗运动中切换漂移率下多个紊乱时间的序贯检测问题，其中真实状态不可观测。
• 基于控制漂移变化的隐马尔可夫过程的不同动态，制定并求解两个不同的最优切换问题。
• 推导最优停时的显式解，以最小化在指数贴现下的误报与延迟惩罚组合。
• 将最优检测程序表征为后验概率过程首次通过特定阈值的时间。
• 提供最小贝叶斯风险函数及相应最优切换边界的闭式表达式。

提出的方法

• 将多源紊乱问题简化为对隐藏状态滤波估计的最优切换控制问题。
• 采用求解耦合自由边界问题的方法，确定后验概率过程的最优停时边界。
• 应用指数贴现方法，将问题与带延迟惩罚的单源紊乱检测联系起来，实现解析可解性。
• 运用局部鞅技巧与费曼-卡公式推导值函数，并通过验证定理确认最优性。
• 利用特殊函数（赫恩的双连通超几何函数与柯姆默的连通超几何函数）推导最优边界的显式表达式及风险函数。
• 通过迪尼公式与勒贝格控制收敛定理在逼近序列上的应用，验证停时规则的最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当隐藏状态作为连续时间马尔可夫链演化时，如何确定在切换漂移率的布朗运动中检测多个紊乱时间的最优策略？
• RQ2 当紊乱发生被限制为仅在先前报警被触发后才能发生时，最优检测策略如何变化？
• RQ3 能否为这类多源紊乱问题中的最优切换边界与风险函数推导出闭式解？
• RQ4 基于隐藏状态后验概率的最优序贯检测程序具有何种结构？
• RQ5 这些解与单源紊乱检测及指数贴现下最优停止问题的已知结果有何关联？

主要发现

• 最优停时为后验概率过程首次触及常数边界 $ p_* $ 与 $ q_* $，或 $ g_* $ 与 $ h_* $ 的 hitting 时间，具体取决于公式设定。
• 最小贝叶斯风险函数由 $ V^*( heta) = \min\{V^*_0(\theta), V^*_1(\theta)\} $ 与 $ U^*(\theta) = \min\{U^*_0(\theta), U^*_1(\theta)\} $ 给出，并已推导出显式表达式。
• 最优边界 $ p_* $、$ q_* $、$ g_* $ 与 $ h_* $ 是一组耦合自由边界问题的解，通过赫恩函数与柯姆默特殊函数求解。
• 值函数满足通过局部鞅表示的验证条件，最优性通过法图引理与控制收敛定理证明。
• 序贯检测程序被完全表征：一旦离开阈值区域，系统切换模式并从新状态重新启动检测过程。
• 结果将施里亚耶夫的单源紊乱问题推广至多源、切换紊乱情形，在指数贴现与马尔可夫动态下获得显式解。