[论文解读] Two-Term Disjunctions on the Second-Order Cone

Fatma Kılınç-Karzan, Sercan Yıldız|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文針對二階錐上的兩項析取式，發展出凸包的閉式凸不等式，利用錐對偶性從非支配線性不等式推導出有效不等式。主要貢獻在於針對特定析取式，完整特徵化了以錐二次形式表示的凸包，推廣了先前的分割切線結果，並為混合整數錐優化中的強切線平面提供了框架。

ABSTRACT

Balas introduced disjunctive cuts in the 1970s for mixed-integer linear programs. Several recent papers have attempted to extend this work to mixed-integer conic programs. In this paper we study the structure of the convex hull of a two-term disjunction applied to the second-order cone, and develop a methodology to derive closed-form expressions for convex inequalities describing the resulting convex hull. Our approach is based on first characterizing the structure of undominated valid linear inequalities for the disjunction and then using conic duality to derive a family of convex, possibly nonlinear, valid inequalities that correspond to these linear inequalities. We identify and study the cases where these valid inequalities can equivalently be expressed in conic quadratic form and where a single inequality from this family is sufficient to describe the convex hull. In particular, our results on two-term disjunctions on the second-order cone generalize related results on split cuts by Modaresi, Kilinc, and Vielma, and by Andersen and Jensen.

研究动机与目标

• 針對應用於二階錐的兩項析取式，特徵化其凸包。
• 推導出在原始變數空間中描述此凸包的閉式凸不等式。
• 將現有針對二階錐的分割切線結果推廣至更廣泛的兩項析取式。
• 識別凸包可由單一錐二次不等式表示的條件。
• 將析取切線理論從混合整數線性規劃推廣至混合整數錐規劃，特別是針對二階錐。

提出的方法

• 特徵化二階錐上兩項析取式定義的析取集之非支配有效線性不等式。
• 應用錐對偶性，將這些線性不等式轉換為一組凸的、可能非線性的有效不等式。
• 識別結果不等式可表示為錐二次形式的情況。
• 透過析取集的幾何與代數分析，推導凸包的明確表達式。
• 透過檢查不等式在析取集及其閉包上的有效性與凸性，驗證其緊緻性。
• 利用p階錐的對偶性與範數性質，將結果推廣至p ∈ (1, ∞) 的p階錐。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，二階錐上兩項析取式的凸包可由單一錐二次不等式描述？
• RQ2 如何系統性地透過錐對偶性，將二階錐上析取集的非支配有效線性不等式轉換為凸非線性不等式？
• RQ3 當析取式涉及二階錐上的非分割、一般兩項約束時，凸包的結構為何？
• RQ4 二階錐上兩項析取式的結果如何推廣先前關於分割切線的工作？
• RQ5 二階錐上兩項析取式的凸包能否以閉式表達？在何種條件下可表示為錐二次可表達？

主要发现

• 本文推導出二階錐上兩項析取式凸包的閉式表達，顯示其可由兩個凸不等式描述：一個線性不等式與一個含平方根項的不等式。
• 針對 $\mathbb{K}_2^3$ 上的特定析取式 $-x_2 \to 0 \vee -x_3 \geq -1$，其凸包為 $\{x \in \mathbb{K}_2^3 : x_2 \leq 1, \; 1 + |x_1| - x_3 \leq \sqrt{1 - \max\{0, x_2\}^2}\}$，此表達在提升空間中為錐二次可表達。
• 該方法成功推廣先前由 Modaresi 等人及 Andersen 和 Jensen 所得的分割切線結果，將其延伸至非分割兩項析取式。
• 針對 $p \in (1, \infty)$ 的p階錐，本文提供基本分割析取式凸包的閉式表達，重新發現並獨立證明了 Modaresi 等人（2014）的推論1。
• 當 $c_{1,0} = c_{2,0} = 1$ 且 $c_1 = t_1 e^i$, $c_2 = -t_2 e^i$ 時，結果凸包可透過單一錐二次不等式表示，其表達式為 $\|(t_1 + t_2)\tilde{x} - 2(t_2 x_i + 1)\tilde{e}^i\|_p \leq (t_1 + t_2)x_n$。
• 分析確認凸包為封閉集，且所推導的不等式均有效且緊緻，透過顯式計算對偶函數驗證了結果函數的凸性。