[论文解读] Two Variants of Euler Sums

Ce Xu, Weiping Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过围道积分与留数定理，引入并评估了两种欧拉和的变体——欧拉 $T$-和与交错欧拉 $T$-和。推导出这些和关于霍夫曼 $t$-值与多重 zeta 值的显式公式，建立了神田-津村猜想的对偶公式，并给出了三重 $t$-值及偶权神田-津村 $T$-zeta 值的闭式表达。

ABSTRACT

For positive integers $p_1,p_2,\ldots,p_k,q$ with $q>1$, we define the Euler $T$-sum $T_{p_1p_2\cdots p_k,q}$ as the sum of those terms of the usual infinite series for the classical Euler sum $S_{p_1p_2\cdots p_k,q}$ with odd denominators. Like the Euler sums, the Euler $T$-sums can be evaluated according to the Contour integral and residue theorem. Using this fact, we obtain explicit formulas for Euler $T$-sums with repeated arguments analogous to those known for Euler sums. Euler $T$-sums can be written as rational linear combinations of the Hoffman $t$-values. Using known results for Hoffman $t$-values, we obtain some examples of Euler $T$-sums in terms of (alternating) multiple zeta values. Moreover, we prove an explicit formula of triple $t$-values in terms of zeta values, double zeta values and double $t$-values. We also define alternating Euler $T$-sums and prove some results about them by the Contour integral and residue theorem. Furthermore, we define another Euler type $T$-sums and find many interesting results. In particular, we give an explicit formulas of triple Kaneko-Tsumura $T$-values of even weight in terms of single and the double $T$-values. Finally, we prove a duality formula of Kaneko-Tsumura's conjecture.

研究动机与目标

• 定义并系统研究欧拉 $T$-和，即限制在奇分母上的经典欧拉和的变体。
• 将理论扩展至交错欧拉 $T$-和及其他欧拉型 $T$-和，包括神田-津村 $T$-zeta 值。
• 利用围道积分与留数微积分，建立这些和的显式求值公式，将其与霍夫曼 $t$-值及多重 zeta 值联系起来。
• 证明神田-津村猜想的对偶公式，连接各类 $T$-和与 $t$-值。
• 以更简单的 zeta 值和 $t$-值表示三重 $t$-值及偶权神田-津村 $T$-zeta 值的闭式表达。

提出的方法

• 将欧拉 $T$-和 $T_{p_1\bar{p}_k,q}$ 定义为在奇分母上的求和，其分子为类似调和数的 $h_{n-1}^{(p)}$。
• 应用围道积分与留数定理来求值 $T$-和，利用 digamma 函数及其导数的性质。
• 利用 $T$-和与霍夫曼 $t$-值之间的关系：每个欧拉 $T$-和均为同权且深度不超过 $k+1$ 的 $t$-值的有理线性组合。
• 推导出三重 $t$-值关于 zeta 值、双 zeta 值与双 $t$-值的显式公式。
• 引入交错欧拉 $T$-和，并使用相同的围道积分框架进行求值。
• 通过结合 Hurwitz zeta 函数与 $\Psi^{(m-1)}$ 函数的函数方程与留数恒等式，证明神田-津村猜想的对偶公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何显式求值具有重复参数的欧拉 $T$-和，类比经典欧拉和的已知结果？
• RQ2 欧拉 $T$-和与霍夫曼 $t$-值之间有何关系？$T$-和能否表示为 $t$-值的有理线性组合？
• RQ3 能否为涉及 $T$-和与 $t$-值的神田-津村猜想建立对偶公式？
• RQ4 三重 $t$-值及偶权神田-津村 $T$-zeta 值能否以更简单的 zeta 值表示其闭式求值？
• RQ5 交错欧拉 $T$-和的行为如何？能否使用与非交错情形相同的解析技术进行求值？

主要发现

• 本文推导出三重 $t$-值关于 zeta 值、双 zeta 值与双 $t$-值的显式公式。
• 证明了权重 $w$、阶数 $k$ 的欧拉 $T$-和是有理线性组合，其构成部分为同权重 $w$ 且深度不超过 $k+1$ 的霍夫曼 $t$-值。
• 对于 $p=2, q=3$，建立了具体恒等式：$3T(2,4) + 2T(3,3) = \frac{\pi^6}{64} - \frac{49}{8}\zeta^2(3)$。
• 证明了神田-津村猜想的对偶公式，将 $T(m+i,q+j)$ 与 $T(p+i,q+j)$ 的和关联至 $\widetilde{t}(p+q+m-1)$ 及 zeta 值与 $t$-值的乘积。
• 利用关系式 $\widetilde{S}_{p,q} = 2^{p+q-2}T(q,p)$ 与 $T_{p,q} = 2^{p+q}t(q,p)$，将双神田-津村 $T$-值与双霍夫曼 $t$-值联系起来。
• 推论 5.4 给出具体求值：$\widetilde{S}_{2,2} + 2\widetilde{S}_{1,3} - T_{2,2} = \frac{\pi^4}{12}$，展示了该方法的有效性。