[论文解读] Two-Way Parikh Automata

Emmanuel Filiot, Shibashis Guha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 2

一句话总结

本文研究了双向帕氏自动机（2PA），将单向帕氏自动机扩展为支持双向输入头。研究证明，对于访问次数有界的2PA，空性问题是 PSpace-完全的；而对于非确定性2PA，空性问题在一般情况下是不可判定的。针对以Σi-Presburger公式表达的半线性约束，本文提供了紧致的复杂度界，表明Σi-2DPA的包含、普遍性和等价性问题为ΠExp_i-完全，且当i > 1时，其复杂度主要由公式可满足性决定。

ABSTRACT

Parikh automata extend automata with counters whose values can only be tested at the end of the computation, with respect to membership into a semi-linear set. Parikh automata have found several applications, for instance in transducer theory, as they enjoy decidable emptiness problem. In this paper, we study two-way Parikh automata. We show that emptiness becomes undecidable in the non-deterministic case. However, it is PSpace-C when the number of visits to any input position is bounded and the semi-linear set is given as an existential Presburger formula. We also give tight complexity bounds for the inclusion, equivalence and universality problems. Finally, we characterise precisely the complexity of those problems when the semi-linear constraint is given by an arbitrary Presburger formula.

研究动机与目标

• 分析双向帕氏自动机（2PA）的基本决策问题——空性、包含、等价和普遍性——的可判定性与复杂度。
• 刻画2PA相对于单向帕氏自动机和无歧义自动机的表达能力。
• 确定当接受条件由Σi-Presburger公式给出时，问题的精确复杂度，特别是当i > 1时。
• 在弱指数阶层中为具有访问次数约束的2PA类建立紧致的复杂度界。

提出的方法

• 将单向帕氏自动机扩展为支持双向输入头，允许头部在输入上左右移动。
• 通过小见证者性质分析空性问题，并对2DPA到无歧义PA的转换进行细致的复杂度分析。
• 利用交替图灵机和量化交替推导出涉及Σi-Presburger公式的各类问题的上界。
• 利用2DPA在布尔运算下的封闭性质，将包含和普遍性问题归约为空性问题。
• 通过从Σi-Presburger公式的可满足性和有效性问题进行归约，证明下界。
• 利用已知的词转换器和交叉序列结果，证明无歧义PA与双向确定性有限转换器等价，从而建立2DPA与UPA之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 非确定性双向帕氏自动机的空性问题是否可判定？若是，其复杂度如何？
• RQ2 当接受条件为存在性Presburger约束时，访问次数有界的双向帕氏自动机的空性问题的精确复杂度是什么？
• RQ3 当接受条件由Σi-Presburger公式定义时，Σi-2DPA的包含、普遍性和等价性问题的复杂度如何变化？
• RQ4 在表达能力和复杂度方面，双向确定性帕氏自动机与无歧义单向帕氏自动机之间存在何种关系？
• RQ5 当i > 1时，2PA的决策问题复杂度是否主要由Presburger公式推理的复杂度主导？

主要发现

• 访问次数有界的双向帕氏自动机的空性问题是 PSpace-完全的，即使每个输入位置的访问次数被常数限制。
• 对于一般非确定性双向帕氏自动机，空性问题变为不可判定。
• Σi-2DPA的包含、普遍性和等价性问题是 ΠExp_i-完全的，且当i > 1时，其复杂度主要由Σi-Presburger公式的可满足性决定。
• 当i = 1时，空性问题的复杂度仍为 PSpace-完全，而Σ1-公式可满足性的复杂度为 NP-完全，表明复杂度范式存在分离。
• 双向确定性帕氏自动机与无歧义单向帕氏自动机在表达能力上等价，但转换过程存在双重指数级的复杂度膨胀。
• 2PA的成员判定问题为 NP-完全，与单向帕氏自动机的复杂度一致。