[论文解读] Two-weight and three-weight codes from trace codes over $\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+v\mathbb{F}_p+uv\mathbb{F}_p$

Yan Liu, Minjia Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文通过迹码和高斯和，在非链环 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 上构造了一个无限族的两权和三权码。通过应用线性格雷映射，得到了具有少量权重的阿贝尔 $p$-元码，并利用格里泽梅尔界证明了两权码的最优性。双 Lee 距离被证明为 2，从而可构建独裁型秘密共享方案。

ABSTRACT

We construct an infinite family of two-Lee-weight and three-Lee-weight codes over the non-chain ring $\mathbb{F}_p+u\mathbb{F}_p+v\mathbb{F}_p+uv\mathbb{F}_p,$ where $u^2=0,v^2=0,uv=vu.$ These codes are defined as trace codes. They have the algebraic structure of abelian codes. Their Lee weight distribution is computed by using Gauss sums. With a linear Gray map, we obtain a class of abelian three-weight codes and two-weight codes over $\mathbb{F}_p$. In particular, the two-weight codes we describe are shown to be optimal by application of the Griesmer bound. We also discuss their dual Lee distance. Finally, an application to secret sharing schemes is given.

研究动机与目标

• 在非链环 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 上构造新的线性码少权家族。
• 利用高斯和确定该环上迹码的 Lee 权分布。
• 通过格里泽梅尔界证明经格雷映射得到的两权码在 $\mathbb{F}_p$ 上的最优性。
• 分析双 Lee 距离，并将结果应用于秘密共享方案。
• 通过将先前从循环码推广到更复杂环结构上的阿贝尔码，实现构造的推广。

提出的方法

• 通过评估映射 $Ev(a) = (\mathrm{Tr}(ax))_{x \in L}$，在环 $\mathcal{R} = \mathbb{F}_{p^m} + u\mathbb{F}_{p^m} + v\mathbb{F}_{p^m} + uv\mathbb{F}_{p^m}$ 上定义迹码 $C(m,p)$。
• 利用高斯和，根据 $\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}^*$ 是平方或非平方，计算码字的 Lee 权分布。
• 应用线性格雷映射 $\phi$，将环上的码映射为 $p$-元码，同时保持阿贝尔结构。
• 利用球 packing 不等式和环的单位性质，确立双 Lee 距离 $d^\prime = 2$。
• 利用准则 $\omega_0 / \omega_\infty > (p-1)/p$，在某些情况下证明所有非零码字均为极小码字。
• 基于码字 $\phi(C(m,p))$ 的极小码字构造秘密共享方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 在环 $\mathbb{F}_p + u\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p + uv\mathbb{F}_p$ 上的迹码能否产生少权码？
• RQ2 此类迹码的精确 Lee 权分布是什么？其与 $m$ 和 $p$ 的关系如何？
• RQ3 通过格雷映射得到的 $p$-元码是否在格里泽梅尔界意义下最优？
• RQ4 所构造码的双 Lee 距离是多少？这对秘密共享有何含义？
• RQ5 码的极小码字能否导致独裁型或民主型秘密共享方案？

主要发现

• 当 $a = \alpha uv$ 时，$C(m,p)$ 中码字的 Lee 权取决于 $\alpha$ 的二次特征，当 $m$ 为单偶数且 $p \equiv 1 \pmod{4}$ 时，其权为 $2(p-1)(p^{4m-1} \pm \epsilon(p)p^{(7m-2)/2})$。
• 当 $m$ 为奇数且 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，$a = \alpha uv$ 的 Lee 权为 $2(p^{4m} - p^{4m-1})$，而其他码字的权为 $2(p-1)(p^{4m-1} - p^{3m-1})$。
• 通过格雷映射得到的 $\mathbb{F}_p$ 上的两权码是最优的，经格里泽梅尔界验证。
• 对于所有 $m > 1$，$C(m,p)$ 的双 Lee 距离 $d^\prime$ 恰好为 2，意味着其对偶中存在权为 2 的码字，且不存在权为 1 的码字。
• 当 $m > 2$ 且 $m$ 为偶数，或当 $m$ 为奇数且 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，$p$-元像码的所有非零码字均为极小码字，因为最小权与最大权之比超过 $(p-1)/p$。
• 基于 $\phi(C(m,p))$ 构造的秘密共享方案为独裁型，因为 $d^\prime = 2$ 暗示存在‘独裁者’，他们属于每一个联盟。