[论文解读] Tykhonov Well-posedness of Elliptic Variational-Hemivariational Inequalities

Mircea Sofonea, Yi‐bin Xiao|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

Contact Mechanics and Variational Inequalities参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文在巴拿赫空间框架下，通过解集的度量刻画，建立了椭圆型变分-半变分不等式提塔科诺夫适定性的必要与充分条件。证明了解对数据的连续依赖性，并将结果应用于具有单边约束与摩擦的接触力学问题。

ABSTRACT

We consider a class of elliptic variational-hemivaria\-tional inequalities in a abstract Banach space for which we introduce the concept of well-posedness in the sense of Tykhonov. We characterize the well-posedness in terms of metric properties of a family of associated sets. Our results, which provide necessary and sufficient conditions for the well-posedness of inequalities under consideration, are valid under mild assumptions on the data. Their proofs are based on arguments of monotonicity, lower semicontinuity and properties of the Clarke directional derivative. For well-posed inequalities we also prove a continuous dependence result of the solution with respect to the data. We illustrate our abstract results in the study of one-dimensional examples, then we focus on some relevant particular cases, including variational-hemivariational inequalities with strongly monotone operators. Finally, we consider a model variational-hemivariational inequality which arises in Contact Mechanics for which we discuss its well-posedness and provide the corresponding mechanical interpretations.

研究动机与目标

• 提出并分析在抽象巴拿赫空间中一类椭圆型变分-半变分不等式的提塔科诺夫适定性。
• 在数据的弱假设下，通过关联解集的度量性质刻画适定性。
• 建立解对问题数据（算子、泛函、约束）的连续依赖性。
• 通过放宽文献中通常要求的强单调性与小量条件，拓展现有结果。
• 将抽象框架应用于具有单边约束与摩擦的接触力学问题，提供力学解释。

提出的方法

• 将变分-半变分不等式的提塔科诺夫适定性定义为解的存在性与唯一性，以及每个逼近序列收敛于唯一解。
• 利用单调性、下确界连续性以及克拉克方向导数的性质分析不等式结构。
• 引入与不等式相关的一族集合，并通过其度量收敛于单点集来刻画适定性。
• 通过验证逼近序列数据的收敛条件（$A_n \to A$，$\varphi_n \to \varphi$，$j_n \to j$，$f_n \to f$，$K_n \to K$）来建立连续依赖性。
• 将抽象框架应用于一维例子及具有法向刚度与双侧摩擦的接触力学问题。
• 利用迹不等式与收敛估计，在弱假设下验证度量条件，包括间隙函数与牵引力数据在 $L^2$ 拓扑下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在巴拿赫空间中，椭圆型变分-半变分不等式的提塔科诺夫适定性的必要与充分条件是什么？
• RQ2 如何通过解集的度量性质刻画适定性？
• RQ3 在何种条件下，不等式解对数据具有连续依赖性？
• RQ4 该抽象框架能否应用于具有非凸与非光滑接触条件的接触力学问题？
• RQ5 在接触问题中，适定性与连续依赖性结果带来了何种力学解释？

主要发现

• 变分-半变分不等式的适定性等价于关联集合族度量收敛于单点集。
• 在弱假设下建立了对数据的连续依赖性，包括间隙函数与牵引力数据的 $L^2$ 收敛性。
• 逼近序列的收敛速率受与 $\|g_n - g\|_{L^2(\Gamma_3)}$ 成比例的项控制，常数依赖于 $F$ 与 $p$ 的利普希茨常数。
• 在所提条件下，具有法向刚度与摩擦的接触力学问题仍为适定，即使算子 $A$ 不具备强单调性。
• 强单调性失效时会导致解的非唯一性，通过构造一个包含多个元素的非平凡解集 $\widetilde{K}$ 得到验证。
• 结果通过放宽对小量条件与强单调性的需求，实现了对先前工作的推广，同时在更弱假设下保持适定性。