[论文解读] Type Arithmetics: Computation based on the theory of types

Oleg Kiselyov|ArXiv.org|Apr 3, 2001

Logic, programming, and type systems被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于类型理论的类型系统，将皮亚诺算术扩展至负数，通过类型约简规则实现加法、减法和除法等算术运算。其关键贡献在于，除零操作可作为类型错误在静态类型检查中被检测到，从而通过编译器强制防止运行时错误。

ABSTRACT

The present paper shows meta-programming turn programming, which is rich enough to express arbitrary arithmetic computations. We demonstrate a type system that implements Peano arithmetics, slightly generalized to negative numbers. Certain types in this system denote numerals. Arithmetic operations on such types-numerals - addition, subtraction, and even division - are expressed as type reduction rules executed by a compiler. A remarkable trait is that division by zero becomes a type error - and reported as such by a compiler.

研究动机与目标

• 开发一种能够通过类型级编程表达任意算术计算的类型系统。
• 在类型理论框架内将皮亚诺算术扩展至包含负数。
• 将算术运算（加法、减法、除法）作为编译器中的类型约简规则实现。
• 确保除零操作在编译时作为类型错误被检测到，从而防止运行时错误。
• 证明类型级计算可以强制实现诸如除法安全等正确性属性。

提出的方法

• 该系统使用类型级的数字表示法，其中类型表示包括负数在内的整数。
• 算术运算被编码为类型级函数或约简规则，用于转换类型。
• 加法和减法通过在类型级数字上递归执行类型级操作来定义。
• 除法作为类型级运算实现，内置对零除数的检查，若尝试除零则产生类型错误。
• 该类型系统被集成到编译器中，强制执行这些约简规则，并在发生无效操作时报告类型错误。
• 该方法利用类型理论将算术计算直接嵌入类型系统，通过类型检查确保正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于类型理论的类型系统能否表达任意算术计算，包括负数？
• RQ2 加法、减法和除法等算术运算如何作为类型级约简规则进行编码？
• RQ3 能否通过类型级约束静态检测并防止除零操作？
• RQ4 编译器在通过类型级计算强制实现算术正确性方面发挥什么作用？
• RQ5 类型级算术在多大程度上能够强制实现诸如除零预防等安全属性？

主要发现

• 该类型系统成功使用类型级数字将皮亚诺算术推广至包含负数。
• 加法、减法和除法等算术运算被编码为由编译器执行的类型约简规则。
• 除零操作被检测为类型错误并由编译器报告，从而防止无效计算。
• 该系统证明了类型级编程可以在编译时强制实现算术安全属性。
• 该方法表明，复杂的算术运算可以被嵌入并验证于类型系统中，其正确性由类型检查强制保证。
• 实现证明了类型算术可作为具备内置正确性保证的计算基础。