[论文解读] Type C blocks of super category O

Jonathan Brundan, Nicholas Davidson|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文证明了复数域上李超代数 𝔮ₙ(ℂ) 的类别 𝒪 在半整数权下的块是无穷秩类型 C∞ Kac-Moody 代数的张量积范畴化结构，从而证实了 Cheng、Kwon 和 Wang 的两个猜想。此外，本文还表明有限维表示的子范畴是一个最高权范畴，其块与广义 Khovanov 弧代数 Morita 同构，从而为这些块提供了图示化的范畴化描述。

ABSTRACT

We show that the blocks of category O for the Lie superalgebra q_n associated to half-integral weights carry the structure of a tensor product categorification for the infinite rank Kac-Moody algebra of type C. This allows us to prove two conjectures formulated by Cheng, Kwon and Lam. We then focus on the full subcategory consisting of finite-dimensional representations, which we show is a highest weight category with blocks that are Morita equivalent to certain generalized Khovanov arc algebras.

研究动机与目标

• 证明 Cheng、Kwon 和 Wang 关于 𝔮ₙ(ℂ) 的 BGG 类别 𝒪 中类型 C 块组合结构的两个猜想。
• 确立在此设定下有限维表示的子范畴为一个最高权范畴。
• 证明该有限维子范畴的块与广义 Khovanov 弧代数 Morita 同构。
• 通过弧代数与截断技术，提供有限维表示的图示化、范畴化描述。

提出的方法

• 利用 Losev 和 Webster 意义下的高阶表示理论与张量积范畴化方法。
• 应用 Kang-Kashiwara-Tsuchioka 同构，将类别 𝒪 的结构与类型 C∞ 的量子群联系起来。
• 通过从 𝔰𝔭₂∞ 截断至 𝔰𝔭₂ₖ 和从 𝔰𝔩₊∞ 截断，将问题简化为张量积范畴化已知的唯一性结果。
• 利用权字典，将格罗滕迪克群中的组合基与数轴上的图示对应起来。
• 应用 Brundan 和 Stroppel（2012）的主要定理，证明有限维模的商范畴与广义 Khovanov 弧代数上的模等价。
• 为统一偶数与奇数情形，构造 Clifford 扭转，从而强化结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在半整数权下，𝑞ₙ(ℂ) 的类别 𝒪 中类型 C 块是否具有类型 C∞ 量子群的张量积范畴化结构？
• RQ2 在此设定下，有限维表示的子范畴是否为一个最高权范畴？
• RQ3 该有限维子范畴的块是否与广义 Khovanov 弧代数 Morita 同构？
• RQ4 这些块的组合结构能否通过 Webster 的正交基描述，并与量子群中的典范基相关联？
• RQ5 有限维表示范畴的结构是否可分解为以 (n₀|n₁) 为指标的块，且每个块同构于 GLₙ₀|ₙ₁(ℂ) 的有理表示的商？

主要发现

• 在半整数权下，𝑞ₙ(ℂ) 的类别 𝒪 的块是 𝔰𝔪₂∞-模 V⊗ⁿ 的张量积范畴化结构。
• 通过截断至 𝔰𝔪₂ₖ 并利用张量积范畴化的唯一性，证明了 Cheng、Kwon 和 Wang 的第一个猜想。
• 通过截断至 𝔰𝔩₊∞，证明类别 𝒪 允许一个由 𝔰𝔩₊∞-张量积范畴化构成的滤子，从而确立了第二个猜想。
• 有限维表示的子范畴 𝒩 是一个最高权范畴，其块与广义 Khovanov 弧代数 K₊∞ʳ 的有限维模同构。
• 每个性质为 r 的块均与代数 K₊∞ʳ Morita 同构，这是这些代数在表示理论中首次自然出现。
• 范畴 𝒩 可分解为 n₀ + n₁ = n 的直和，且每个 𝒩ₙ₀|ₙ₁ 同构于 GLₙ₀|ₙ₁(ℂ) 的有理表示的商。