[论文解读] Type II blow up for the energy supercritical wave equation

Charles Collot|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 15被引用 6

一句话总结

该论文在高维情形下，针对具有径向对称性的能量超临界型波动方程，构造了有限时间内的II类爆破解，采用了一种量化收缩尺度 λ(t)，使孤立子型解集中于该尺度。爆破发生在离散的若干速率上，且所有次临界范数保持有界，该研究将能量临界型问题与非线性薛定谔方程中的技术拓展至波动方程情形。

ABSTRACT

We consider the non linear focusing wave equation $\partial_{tt}u-\Delta u-u|u|^{p-1}=0$ in large dimensions and for radially symmetric data, in the energy supercritical zone for p large enough. We construct finite time blow up solutions that concentrate the soliton profile $u \sim \frac{1}{\lambda^{\frac{2}{p-1}}}Q (\frac{r} {\lambda})$, $Q$ being a special stationary state of the equation. The blow up is of type II i.e all norms below scaling remain bounded. The scale shrinks at quantized blow up rates: we exhibit a countable family of asymptotic behaviors near blow up time for the scale lambda. Our analysis adapts the robust energy method developed for the study of energy critical bubbles and the analogous result for the energy supercritical NLS problem. This work is also related to similar solutions for the non linear heat equation for which the existence was already known, but with some techniques that could not be adapted to the wave equation.

研究动机与目标

• 在非线性波动方程的能量超临界情形下，建立II类爆破解存在的证明。
• 分析爆破尺度 λ(t) 的渐近行为，并识别出一组离散的量化爆破速率。
• 将能量临界型问题中使用的能量方法拓展至能量超临界型波动方程。
• 证明在爆破过程中，所有低于尺度阈值的范数均保持一致有界。
• 弥合能量超临界情形下非线性热方程与波动方程之间已知结果之间的差距。

提出的方法

• 将适用于能量临界型波动方程与薛定谔方程的稳健能量方法，拓展至能量超临界型波动方程。
• 构造集中于孤立子型解 u ∼ λ^(-2/(p-1)) Q(r/λ) 的解，其中 Q 为一个静止解。
• 施加径向对称性以简化分析，并聚焦于原点附近的爆破动力学。
• 分析尺度 λ(t) 的演化，并推导其在爆破时刻附近的渐近行为。
• 通过 λ(t) 的精细渐近分析，识别出一组可数的可能爆破速率。
• 利用能量估计与调制技术控制解，防止其发生弥散。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维情形下，能量超临界型波动方程是否存在II类爆破解？
• RQ2 爆破尺度 λ(t) 的收缩可能具有哪些渐近速率？
• RQ3 在爆破过程中，所有次临界范数是否保持有界？
• RQ4 能否将能量临界型问题中使用的能量方法适配至超临界型波动方程？
• RQ5 爆破行为与非线性热方程中的已知结果相比有何异同？

主要发现

• 对于高维情形下具有径向初值的能量超临界型波动方程，有限时间内的II类爆破解存在。
• 爆破尺度 λ(t) 以一组离散的量化速率收缩，表明存在可数的爆破动力学可能。
• 在爆破过程中，所有低于尺度阈值的范数均保持一致有界，确认了II类爆破的性质。
• 解集中于孤立子型解 Q(r/λ)，其中 Q 为方程的特殊静止解。
• 该分析成功地将能量方法拓展至超临界型波动方程，而此前热方程中的技术在此类情形下并不直接适用。
• 结果建立了非线性热方程中已知爆破解在波动方程中的类比，但具有独特的动力学特征。