[论文解读] Types and operations

Stanisław Ambroszkiewicz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Logic, programming, and type systems被引用 5

一句话总结

本文通过引入一个由自然数参数化的通用有限结构方法，重新审视了类型、运算（函数）和关系的基础概念，以归纳方式构建一个可有效构造的实体宇宙。其主要贡献是一个形式化框架，为形式理论提供基础，但本身并非一种理论，为数学和计算推理提供了构造性基础。

ABSTRACT

A revision of the basic concepts of type, function (called here operation), and relation is proposed. A simple generic method is presented for constructing operations and types as concrete finite structures parameterized by natural numbers. The method gives rise to build inductively so called Universe intended to contain all what can be {\em effectively constructed} at least in the sense assumed in the paper. It is argued that the Universe is not yet another formal theory but may be considered as a grounding for some formal theories.

研究动机与目标

• 以更基础、构造性的方式重构类型、函数（运算）和关系的核心概念。
• 解决系统化、归纳性方法生成类型和运算作为有限结构的需求。
• 定义一个包含所有在给定构造性解释下可有效构造实体的宇宙。
• 为形式理论提供一个基础框架，而本身并非一种形式理论。
• 使复杂数学和计算结构能够从基本、参数化的组件中构建。

提出的方法

• 一种通用方法将类型和运算构造为由自然数参数化的有限结构。
• 该方法使用归纳生成，从简单结构逐步构建更复杂的结构。
• 运算（函数）被定义为在这些有限、参数化结构之间的映射。
• 类型被形式化为在指定运算和关系下封闭的有限系统。
• 宇宙通过从基本组件出发，对有效构造规则进行封闭归纳构建。
• 该框架避免对自身进行完整形式化，而是作为此类理论的构造性基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从基本组件系统性地构建类型和运算，使其成为有限、有效的结构？
• RQ2 自然数参数在定义和生成类型与运算中起什么作用？
• RQ3 如何在不预设存在形式理论的前提下，归纳定义一个可有效构造实体的宇宙？
• RQ4 所构建的宇宙在何种意义上可作为形式理论的基础，而本身并非一种形式理论？
• RQ5 在何种最小条件下，此类构造性宇宙能够支持形式数学推理的发展？

主要发现

• 所提出的方法成功地使用自然数参数，将类型和运算构造为具体、有限的结构。
• 归纳构造产生了一个在有效构造下封闭的宇宙，涵盖了所有在既定意义上可构建的实体。
• 该宇宙并非一种形式理论，但为形式理论提供了构造性、基础性的框架。
• 该方法通过参数化、有限结构实现了对类型和运算的统一处理。
• 该框架通过提供一个先验的、有效的论域，支持形式理论的发展。
• 该方法通过将理论建立在有效构造之上，为数学和计算的基础提供了新视角。